4.5 SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS.



4.4.1Introducción. El álgebra de circuitos es un álgebra booleana, por tanto todos los resultados obtenidos anteriormente serán válidos. En particular los teoremas y reglas relativas a simplificación de funciones booleanas se aplican en el álgebra de circuitos.

Un método general para simplificar un circuito consiste en encontrar primero la función booleana que representa el circuito, luego simplificar la función y finalmente dibujar el circuito de la función simplificada.

Surgen algunos problemas o inconvenientes e la simplificación de circuitos. A veces puede ser difícil o imposible decir, sólo por la forma de la función booleana, cual de varios circuitos es le más simple. El mejor circuito puede depender del costo relativo del alumbrado y de los conmutadores requeridos.

Si se usan solamente las leyes del álgebra booleana puede suceder que una posible simplificación pudiera ser omitida. También es posible que cierto paso sea más fácil de reconocer si se expresa en términos de una de las leyes duales en lugar de la otra; por lo anterior se sugiere otro método de simplificación que puede ser útil y es el siguiente: para simplificar una función f se toma el dual de f y se simplifica la expresión resultante. Si se toma otra vez el dual, se obtiene de nuevo la función f pero en una forma diferente que, generalmente, será más simple que la original.

Ejemplo 1

Simplificar el siguiente circuito:





Solución.

El circuito está representado por la función:

f = c b + a b' c d + c d' + a c' + a' b c' + b' c' d' .

Donde:

g = cb + ab'cd + cd'       y      h = ac' + a'bc' +b'c'd'


Separamos la función f en dos funciones g y h. A continuación, se toma el dual de g (d(g)) y se efectúa la simplificación, una vez hecha esta, se toma nuevamente el dual para volver a la función inicial, pero ya en una forma simplificada. Análogamente se procede con la función h.

d(g) = (c + b)(a + b'+ c + d)(c + d')

= c + (b (a + b'+ d) d')

= c + (a b d' + b b' d' + b d d')

= c + a b d'

= c (a + b + d').

Igualmente, d(h) = (a + c')(a' + b + c')(b' + c' + d')

= c' + (a (a' + b)(b' + d'))

= c' + a (a' b' + a' d' + b b' + b d')

= c' + a a' b + a a' d + a b b' + a b d'

= c' + a b d'

h = c' (a + b + d').

Luego,

f = c (a + b + d') + c' (a + b + d')

= (c + c')(a + b + d)

= a + b + d'.

4.5.2 Mapas de Karnaugh. Las formas normales disyuntivas y conjuntivas son útiles para varios propósitos, tales como determinar si dos expresiones representan la misma función booleana. Para otros propósitos son a menudo engorrosas por tener mas operaciones de las necesarias. Un método para lograr definir una expresión más simple que otra es el método de los mapas de karnaugh que simplemente son diagramas de Venn con las distintas regiones arregladas en cuadros dentro de un rectángulo.

Para funciones de más de cinco variables, este método se vuelve muy complicado y pierde utilidad.

A continuación se verán las diferentes clases de mapas de Karnaugh.



Mapa de una variable,




Mapa de dos variables




Mapa de tres variables



Mapa de cuatro variables


4.5.3 Introducción de términos en mapas de Karnaugh. Cada cuadro en un mapa de Karnaugh contiene un "1" sí el término representado en ese cuadro se encuentra en la forma normal disyuntiva de la función. La siguiente fórmula proporciona el número de "1"s que debe introducirse en los mapas de Karnaugh.


2N-Q donde N es el número de variables de la función, Q es el número de variables del término.


Ejemplo 2.
Dado f(x, y, z, w) = x' y z 'w
+ x y' z + y z' + x.

El primer término de f da origen a un solo "1" porque 24-4 es igual a 1.

El segundo término de f da origen a dos "1" porque 24-3 es igual a 2.

El tercer términos de f da origen a cuatro "1" porque 24-2 es igual a 4.

El cuarto término de f da origen a ocho "1" porque 24-1 es igual a 8.



Ejemplo 3.
Lleve a mapas de Karnaugh la siguiente función.

f(x, y, z) = x' y' z + x y z' + x y' z.

Solución



Ejemplo 4.
Lleve a mapas de Karnaugh la siguiente función.
g(x, y, z, w) = x' y z' w + y z' + x' w.
 
Solución.



Ejemplo 5.
Lleve a mapas de Karnaugh la siguiente función.


h(x, y, z, v) = x y + z'. Solución.




4.5.4 Lectura en mapas de Karnaugh y simplificación de funciones. Una vez introducida la función Booleana en un mapa de Karnaugh se procede a su lectura. Se simplificará la función agrupando los "1" contenidos en los cuadros adyacentes. Por cuadros adyacentes se entiende dos cuadros que solo difieren en una variable.

Las siguientes dos figuras son ejemplos de cuadros adyacentes.



(a)


(b)


Los cuadros de la figura (a) difieren únicamente en la variable x y su función correspondiente es f(x, y, z) = x' y z' + xyz. Esta se puede simplificar así: f(x, y, z) = yz'.

Los cuadros de la figura (b) difieren únicamente en la variable z y su función correspondiente es f(x, y, z) = x y' z' + x y' z. Esta se puede simplificar así: f(x, y, z) = x y'.




En las figuras siguientes se observará:

Los cuadros a y b son adyacentes.

Los cuadros c y d son adyacentes.



Los cuadros e, f , g y h son adyacentes.

Los cuadros i, j, k, l son adyacentes.




En el momento de la lectura, se rodean los "1" de los cuadros adyacentes mediante un bucle o lazo, que indica que estos "1" se agrupan para obtener una expresión simplificada de la función. Los lazos deben cubrir el mayor número de "1" tomados en potencias de dos. En caso que un "1" no sea adyacente con ningún otro, se tomará solo.

Veamos las siguientes situaciones:



(a)


(b)


(c)


(d)



En la figura (a) f(x, y, z, v) = x' y' v + x z' v' + x' y z v'.

En la figura (b) f(x, y, z, v) = y' v' + y v.

En la figura (c) f(x, y, z, v) = z' v + y' z v'.

En la figura (d) f(x, y, z, v) = y v'.



En ocasiones ocurrirá lo siguiente:

(a)


(b)


(c)


algunos "1" están en más de un lazo. Conviene hacer esto para que los términos resulten con el menor número de variables que es lo que se pretende.

En la figura (a), f = x' z' + y z' v + x' y v'.

En la figura (b), g = x' v + y' v + x y v'.

En la figura (c), h = y v + x y + y' v'.




Ejercicios 4.5

1) De la siguiente tabla deduzca la función f, llévela a un mapa de Karnaugh y simplifíquela.





x
y
z
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0




2) simplificar f = x' z + x' y + x y' z + yz, usando:

- Propiedades del álgebra Booleana.

- Mapas de Karnaugh.



3) Del siguiente mapa de Karnaugh, deduzca la función simplificada.




4) Igual que el punto 3 deduzca las funciones ms simples.




5) Simplifique las siguientes funciones Booleanos usando teoremas de álgebra de Booleana y mapas de Karnaugh.



6) Lleve a mapas de karnaugh.

7) De la siguiente tabla de verdad, deduzca f. Llévela a un mapa de Karnaugh y simplifíquela. Dibuje el circuito de conmutación simplificado.



x
y
z
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1