8.4 Principio de Inducción Matemática

8.4.1 Conjuntos Inductivos.

Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y así sucesivamente.

En virtud de que no se puede depender del significado un poco oscuro de "y así sucesivamente" y de que se debe tener una base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da una definición del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo.
 

8.4.2 Definición. Un conjunto S de números es un conjunto inductivo sí y sólo sí S tiene las siguientes propiedades:




Ejemplo 1.

El conjunto de los enteros positivos es un conjunto inductivo.
 

Ejemplo 2.

El conjunto de los números Reales es un conjunto inductivo.
 

Ejemplo 3.

El conjunto  S1 = {1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porque no obstante que 1 S1; (1+1)S1.

El conjunto  Z+ es el conjunto de números con la propiedad de que si k es cualquier conjunto inductivo de números, entonces Z+ k. Se dice a veces, que el conjunto de los enteros positivos, es el "más pequeño" conjunto inductivo de números.
 

8.4.3 Teorema fundamental de Inducción Matemática.

Sea Sn una función proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+. Si Sn satisface las siguientes dos condiciones:



Entonces Sn es cierta para todo n Z+.
 

Demostración

Sea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual Sn es cierta. Es decir:

De i. se observa que 1 k.

De ii. se observa que  k k (k + 1)k.

Por tanto k es un conjunto inductivo y por la definición de k se sabe que k Z+.

De otra parte  Z+ k. Por consiguiente  Z+= k, es decir Sn es cierta para todo n Z+.


Ejemplo 4.

Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares positivos es  n2.

Sea  Sk= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k -1) = kn (hipótesis de inducción)

Entonces hay que demostrar que S1 es cierta y que Sk Sk+1 es cierta.

s1= 1 = 12
sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)

Entonces,  sk+1 = sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2

Con lo anterior queda demostrado que la suma de los n impares positivos es n2.
 
 

Ejercicios 8.4

1. Demuestre que:  para todo n1.

2. Demuestre que:  2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2 para todo n1.

3. Demuestre que:  para todo n1

4. Demuestre que:  para todo n1.


5. Demuestre que:  para todo n1.