3.3 Producto Cartesiano.



3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:

A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.


En consecuencia:

(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B


En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

R x R = {(x, y) / x ÎR Ù y Î R }.


R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.


Ejemplo 2:

Sean A = {x / x ÎR Ù1 < x £ 3 },

        B = {x / x ÎR Ù-2 £ x < 2 }.

Su representación geométrica es:


A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Ejemplo 3:

Sean A = {x / x ÎNÙ1 £ x < 4}, B = {x / x ÎR Ù1 £ x £ 3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.


Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que aiÎ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.


3.3.2 Propiedades del producto cartesiano.


3.3.2.1 A Ì X Ù B Ì Y Û A x B Ì X x Y.

3.3.2.2 A x B = 0 Û A = 0 Ú B = 0.

3.3.2.3 A ¹ B Ù A x B ¹ 0 Þ A x B ¹ B x A.

3.3.2.4 A x (B · C) = (A x B)( A x C).

3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).

Demostración de 3.3.2.2:
Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ¹ 0 y B ¹ 0; entonces existen elementos a y b tales que a Î A y b Î B. Luego la pareja (a,b) Î A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0.
Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ¹ 0, existirá (a, b) Î A x B entonces a Î A en contradicción con la suposición de que A = 0.
Análogamente se razona en el caso de que B = 0.

Demostración de 3.3.2.4: (x, y) Î A x (B · C) Û x Î A Ù y Î B · C. Û x Î A Ù ( y Î B Ù y Î C). Û ( x ÎA Ù y Î B) Ù (x Î A Ù y Î C). Û (x, y) Î A x B Ù (x, y) Î A x C. Û (x, y) Î (A x B) · (A x C).

3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:

½ A x B ½ = ½ A½ ½ B½ .


puesto que:

A x B = {(a, b): a Î A Ù b Î B}.


y para cada una de las ½ A ½ elecciones de a en A hay ½ B½ elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b).

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.

3.3.3.1 Reglas del producto.

  • Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene:

                      k
½ A1x A2x ... x An½= P ½ Aj ½
                        j =1


  • De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.

  • En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos.



Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas.

Solución: En este problema deben considerarse quintillas ordenadas de cartas de baraja. Con reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. El conjunto de formas de seleccionar 5 cartas con reemplazo está en correspondencia uno a uno con:

D x D x D x D x D = D5.

Donde D es el conjunto de cartas con 52 elementos. Por la tanto el conjunto de cartas tiene 525 elementos.

Ejemplo 6: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas.

Solución: Esta vez la regla del producto no puede aplicarse puesto que no se permiten todas las quintillas ordenadas en D5. Específicamente están prohibidas las quintillas donde se repita una carta. Sin embargo es posible razonar de la forma siguiente: La primera carta puede seleccionarse de 52 maneras. Una vez seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51 maneras. La tercera carta puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. De esta forma, pueden elegirse 5 cartas sin reemplazo de 52 · 51· 50 · 49 · 48 maneras diferentes.



Ejercicios 3.3

1) Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades:

(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2) Demostrar los teoremas 3.3.2.1, 3.3.2.3, 3.3.2.5.

3) Demostrar que (A x B) (C x D) = (A x D) (C x B).

4) ¿Cómo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?.

5) Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de:

A x B y B x A.

6) Sea S = {100, 101,..., 999} así que ½ S½ = 900.

  • ¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejemplos: 300, 707, 736, 103, 997.

  • ¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7? Ejemplos: 736, 377.

7) Sea T = {1000, 1001, ..., 9999} ¿ Cuántos enteros en T tienen al menos un dígito que sea 0, al menos uno que sea 1 y al menos uno que sea 2? Ejemplo: 1072, 2101.

Sugerencia: Sea,

Ak = {n Î T: n no tiene dígito igual a k}, k = 0,1,2.

Entonces,

Ak' = {n Î T: tienen al menos un dígito igual a k}.

8) Sea: L = {a,b,c,d,e,f,g} ¿Cuántas palabras de longitud 5, pueden formarse con los elementos de L?. ( Aquí se entiende por palabra una sucesión cualquiera de signos de L).