2.7 LA LÓGICA DE LAS RELACIONES.


2.7.1 Funciones proposicionales binarias.

A un predicado puede ir unido más de un sujeto o término, como por ejemplo:

"Platón fue alumno de Sócrates"

Este tipo de predicados expresa una relación entre los objetos o términos. Aquí vemos dos términos que son Platón y Sócrates; sin embargo en este caso los términos no ocupan el lugar del sujeto gramatical puesto que "Sócrates" hace parte del predicado gramatical.

Cuando, como en el ejemplo, la relación se hace entre dos individuos, se le llama binaria o diática. Otras relaciones pueden establecerse entre tres o más individuos. Por ejemplo: "x está entre a y b". La proposición "Platón fue alumno de Sócrates", la cual se simboliza Aps o pAs es el resultado de una sustitución dentro de la función proposicional:

"x fue alumno de y"


esta función proposicional se simboliza Axy o xAy.

Cuando se efectúa la sustitución es necesario conservar el orden en la escritura de acuerdo a que el término que entra a sustituir la variable ocupe el lugar de ésta. Por ejemplo, si en lugar de escribir Aps escribimos Asp, la proposición será.:

"Sócrates fue alumno de Platón"



Cuando se tiene una función proposicional en dos variables, es posible convertirla en una proposición sustituyendo cada una de las variables por un término especifico o añadiendo un cuantificador a cada variable.

Las siguientes son las diferentes maneras de obtener una proposición a partir de una función proposicional dada.

Sea Axy: "x fue alumno de y"



2.7.2 Leyes del Cálculo de Relaciones.

2.7.2.1 Negación de expresiones con varios cuantificadores.
 
  1. Ø (" x)(" y)(Rxy) Û ($ x)($ y)(Ø Rxy).
  2. Ø ($ x)($ y)(Rxy) Û (" x)(" y)(Ø Rxy).
  3. Ø (" x)($ y)(Rxy) Û ($ x)(" y)(Ø Rxy).
  4. Ø ($ x)(" y)(Rxy) Û (" x)($ y)(Ø Rxy).

Para hacer la negación de la fórmula (" x)( $ y)( Rxy) de sigue el siguiente proceso: Sea Sx la función proposicional ( $ y)( Rxy), luego la fórmula se puede expresar

(" x)( Sx) cuya negación es ( $ x)( Ø Sx), ahora, como Sx es ( $ y)( Rxy) se da que

Ø Sx Û Ø ( $ y)( Rxy) Û (" y)( Ø Rxy).

Se obtiene entonces el siguiente resultado:

Ø (" x)($ y)( Rxy) Û ($ x)(" y)(Ø Rxy).



2.7.2.2 Propiedades conmutativas de los cuantificadores
 
 

  1. (" x)(" y)(Rxy) Û (" y)(" x)(Rxy).
  2. ($ x)( $ y)(Rxy) Û ($ y)( $ x)(Rxy).
  3. ($ x)(" y)(Rxy) Þ (" y)($ x)(Rxy).

El siguiente ejemplo demuestra que el reciproco del tercer numeral es falso.
 
 

Se sabe: "para cada número natural n, existe un natural k, tal que n < k ", o sea que

(" n)($ k)( n < k ), es un enunciado verdadero. Sin embargo, el siguiente enunciado

"existe un número natural k, tal que para todo número natural n se cumple que

n < k", o sea ($ k)(" n)( n < k ), es un enunciado falso, pues no existe un número natural que sea mayor que todos los números naturales.
 

2.7.3 Lógica de la identidad.

2.7.3.1 Introducción. En español se usa con frecuencia alguna forma del verbo "ser" entre dos términos, para indicar que nombran o se refieren a una misma cosa.

Por ejemplo:

"Simón Bolívar fue el primer presidente de Colombia".

Esto significa, que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que " primer presidente de Colombia". Así si s representa a Simón Bolívar y p al primer presidente de Colombia este enunciado se puede simbolizar como:

s = p

El signo = (igual) se denomina también signo de identidad.

Sin embargo, el verbo "ser" se usa también en otro sentido, por ejemplo:

"Simón Bolívar fue un hombre valiente".

Aquí sería incorrecto decir que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que "hombre valiente".

Debe tenerse presente que el signo de identidad se coloca entre términos que son nombre de la misma cosa. Así, dos objetos aunque tengan una apariencia tan igual que no se distingan, son sin embargo distintos, es decir no idénticos. Decir que dos objetos son iguales, significa que son el mismo objeto, no que son tan análogos que no se distinguen.

2.7.3.2 Axiomas do la Lógica de la identidad.

1) (" x)(x = x). (todo objeto es igual a si mismo).

2) (" x)(" y)(x = y Û y = x) (simetría).

3) (" x)(" y)(" z)(x = y Ù y = z Þ x = z) (transitividad).

4) (c = d),Þ (Pc Û Pd). (regla de la identidad).

Intuitivamente, el axioma cuatro dice: Si dos objetos son iguales, entonces verifican las mismas propiedades.

Ejemplo: Simbolizar el siguiente razonamiento, y mostrar que la inferencia es válida deduciendo la conclusión.
 

Sean:

Ve: Eduardo pudo haber visto el coche del asesino.

r = p: Ricardo fue el primer testigo de la defensa.

Fe: Eduardo estaba en la fiesta.

Tr: Ricardo dio testimonio falso.

(" x)(Fx Þ Ø Vx): nadie en la fiesta pudo haber visto el coche del asesino.

Entonces:

1. Ve premisa.

2. r = p premisa.

3. Fe Ú Tr premisa.

4. (" x)( Fx Þ Ø Vx) premisa.

5. Fe Þ Ø Ve E.U. en 4.

6. Ve Þ Ø Fe contrarrecíproco en 5.

7. Ø Fe RV1 en 1 y 6.

8. Tr regla de disyunción 3 y 7.

9. Tp regla de identidad en 2 y 8.

Ejercicios

1) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, donde el conjunto de referencia es el de los números naturales.

(" m)($ n)(m < n). (" m)( " n)(m < n).

(" n)($ m)(m < n). (" n)(" m)(m < n).

($ n)(" m)(m < n). ($ m)($ n)(m < n).

($ m)(" n)(m < n). ($ n)( $ m)(m < n).

2) Considérese la proposición:

(" m)($ n)(m + n = 7).

3)Sea P: (" x)(" y)( x < y Þ ($ z)( x < z < y ) ).

- Determine el valor de verdad de P si el conjunto de referencia es R .

- Determine el valor de verdad de P si el conjunto de referencia es Z .

4) Negar las siguientes proposiciones sin utilizar el conectivo lógico Ø antes de

cuantificadores.

5) Muestre mediante un contraejemplo, que la implicación lógica:

($ x)(" y)(Pxy) Þ (" x)($ y)(Pxy).

es falsa.

6)Muestre que la implicación lógica:

(" x)($ y)(Pxy) Þ ($ y)(" x)(Pxy).

Es falsa, buscando un caso en el cual la proposición falla.

7) En cada caso muestre que los siguientes pares de fórmulas son equivalentes.

($ x)(" y)(y ³ 0 Þ y > x) y ($ x)(" y)(y > x Ú Ø (y ³ 0)).

($ x)(" y) (Ø (y > x)) y ($ x)( Ø ($ y)(y > x)).

8) ¿En cuáles de las siguientes oraciones se usa el verbo "ser" en el sentido de identidad?