Juegos de estrategia

En este taller se plantean juegos matemáticos para desarrollar entre dos jugadores.

Muchos de los problemas que se plantean involucran conceptos como máximo común divisor, paridad, divisores y residuos, etc.

Los juegos que aquí se proponen son juegos de estrategias, es decir aquellos en los que los jugadores deben buscar estrategias para ganar. Son problemas de varios tipos: En unos se trata de escoger objetos dispuestos en diferentes formas; en otros llamados juegos de posición, se trata de desplazarse en una cuadrícula hacia una meta; en los últimos se trata de escribir números en un tablero y realizar determinadas operaciones aritméticas.

Los juegos que siguen permiten ejemplificar los procesos heurísticos o estrategias generales para resolver problemas e iniciar a los estudiantes en el desarrollo de procesos propios del pensamiento matemático.

Hay que describir una vez más lo que aconseja George Polya, según lo cual, para resolver un problema que en nuestro caso es una estrategia ganadora se necesita:

Veamos el planteo y solución de algunos juegos.



Persecución Cartesiana

Es un juego para dos jugadores.

Se juega sobre el tablero que se presenta a continuación. El primer jugador hace una marca en la casilla de salida.

En su turno cada jugador puede hacer una marca en una casilla situada

de la última marca hecha por su oponente.

Gana el primer jugador que consiga llegar a la meta.

Lleva ventaja alguno de los jugadores? Cómo debe jugar para ganar siempre?

Solución

X

 

X

 

Meta

         

X

 

X

 

X

         

X

Salida

 

X

 

X

podemos señalar las casillas por las que se accede a la meta comenzando por las más próximas. Por lo tanto el jugador que empieza gana si se coloca en las casillas señaladas.


Generalizaciones

Qué pasaría si el tablero tuviese otras dimensiones?

Se puede resolver este nuevo problema de la misma forma que acabamos de hacer. Por supuesto no siempre lleva ventaja el primero ; ello sólo ocurre cuando el tablero tiene un número impar de casillas.

 

Jugando con fósforos

Es un juego para dos jugadores.

Sobre una mesa hay dos montones de fósforos con cinco fósforos cada uno. Cada jugador, por turno, puede coger un fósforo de un montón o un fósforo de cada montón. Pierde el que coge el último fósforo.

Tiene ventaja alguno de los jugadores? Si es así, cómo debe jugar para ganar siempre?

Solución

La primera idea para anotar las jugadas es usar pares que representan los fósforos que quedan en cada montón y un diagrama en árbol en el que van apareciendo las jugadas que se pueden ir haciendo. Pero hay otra forma de representar el problema usando una tabla en la que se indican las posiciones ganadoras y perdedoras. Esta idea surge de relacionar este juego con "Persecución "Cartesiana" pues las reglas son equivalentes, así como la situación de la partida: quitar un fósforo de un montón equivale a colocarse directamente arriba o directamente a la derecha de la posición del otro jugador; coger un fósforo de cada montón equivale a colocarse en diagonal respecto a la posición del otro jugador; la posición de partida es equivalente a tener cinco fósforos en cada montón; el jugador que llega a la casilla superior derecha pierde.

Tenemos entonces las siguiente distribución de posiciones ganadoras en un cuadro 6´ 6, pues ahora hay que considerar también que no quede ninguna cerilla en uno de los montones:

5

4

3

2

1

0

 

X

(5,0)

 

X

(3,0)

 

X

(1,0)

 

0

         

X

(0,1)

1

 

X

(4,2)

 

X

(2,2)

   

2

         

X

(0,3)

3

 

X

(4,4)

 

X

(2,4)

   

4

X

(5,5)

       

X

(0,5)

5

por tanto, las posiciones en los que hay que dejar los montones al contrario para poder ganar son:

{4, 4}; {4, 2}; {2, 2}; {5, 0}; {3, 0}; {1, 0}.

Por tanto lleva ventaja el primer jugador, que debe empezar cogiendo un fósforo de cada montón y continuar dejando siempre al contrario en algunas de las posiciones indicadas anteriormente.


Generalizaciones

Qué pasaría si tuviéramos dos montones con un número diferente de fósforos? Se resuelve de la misma manera utilizando un rectángulo con un número de casillas en cada lado una unidad mayor que el número de fósforos de cada montón.

Qué pasaría si ganase el jugador que coge el último fósforo?

En este caso procedemos como antes, sabiendo que el que llegue a la casilla (0, 0) gana, por tanto las casillas (0, 1), (1, 0), y (1 ,1) son perdedoras.

Retrocediendo hacia las casillas iniciales se tiene cuáles son las posiciones ganadoras.

 

Descenso hacia uno

Es un juego para dos jugadores.

Los números 25 y 36 son escritos en un tablero. En cada turno cada jugador escribe en el tablero la diferencia positiva entre dos números en el tablero en el tablero si este número no aparece en él.

Pierde el jugador que no puede escribir un nuevo número en el tablero.

Tiene ventaja alguno de los jugadores?

Cuál es la estrategia ganadora?

Solución

Este juego lleva involucrado el concepto de máximo común divisor y el de primos relativos.

El máximo común divisor de estos números debe aparecer escrito en el tablero, (compare este juego con el algoritmo de Euclides) así como todos los múltiplos del máximo común divisor que no sean mayores que los números originales.

En nuestro caso el máximo común divisor de 25 y 36 es 1, por tanto cada número de 1 a 36 debe aparecer en el tablero; o sea que habrá 34 números nuevos en el tablero y por tanto el ganador será el segundo jugador.


Generalización

El problema será válido para cualquier par de números primos entre sí.

El ganador será el segundo jugador si el número mayor es par y el número de números nuevos en el tablero será el número mayor men os dos. Si el número mayor es impar, el

ganador será el primer jugador.

Si los dos números no son primos relativos basta hallar el máximo común divisor y sus múltiplos, menores que los números iniciales garantizándose que gana el primer jugador si el número de esos múltiplos es impar.

 

Otro descenso hacia uno

Es un juego para dos jugadores.

El número 60 es escrito en un tablero. En cada turno un jugador sustrae del número en el tablero, uno de sus divisores y reemplaza el número original por el resultado de esta sustracción. El jugador que escribe el número 0 pierde.

Solución

En este juego el jugador que obtiene el 1 gana. Este será el primer jugador si reconoce que escribiendo un número impar está en posición ganadora.

 

Generalización

Siempre será posible que el ganador sea el primer jugador si el numero es par, porque cuando menos lo puede volver impar restándole 1. El segundo jugador siempre recibirá entonces un número impar y al restarle uno de sus divisores que debe ser impar, entregará al primer jugador un número par. Así el proceso se reitera hasta que el primer jugador obtiene 1 y es el ganador.

Si el número es impar, digamos 57 entonces el ganador siempre será el segundo jugador por razones similares.

En conclusión, este juego pone a prueba el concepto de paridad.

 

Veneno

Es un juego para dos jugadores.

Se colocan 10 objetos sobre una mesa. Cada jugador, por turno, puede escoger uno o dos objetos. El que coge el último objeto que queda es VENENO.

Cómo se gana todas las veces?

Cuál es la estrategia ganadora?

Solución

Para ganar siempre hay que dejar sobre la mesa 1, 4, 7 y 10 objetos. Para ello hay que ser segundo y coger 1 objeto si el oponente coge 2 y viceversa.

Se basa en el hecho de que siempre hay que dejar al oponente con un número de objetos de la forma 3k + 1 con k entero positivo.


Generalizaciones

Qué pasaría si hubiese un número distinto de objetos sobre la mesa?

Puede ganar el primer jugador o el segundo. Eso puede saberse dividiendo el número total de objetos entre 3. Si el residuo es cero o dos lleva ventaja el primero porque cogiendo 2 ó 1 objeto deja sobre la mesa un número de objetos de la forma 3s +1. Si no es cero o dos lleva ventaja el segundo.

Otra generalización del juego consiste en escoger de 17 objetos sobre una mesa, 1, 2, ó 3 objetos cada turno. El que coge el último objeto pierde.

Acá gana el segundo jugador cogiendo:

1 objeto si el oponente coge 3.

2 objetos si el oponente coge 2.

3 objetos si el oponente coge 1.

En las anteriores condiciones al primer jugador le quedarán sobre la mesa un número de objetos de la forma 4t +1 y perderá.

 

La carrera del cien

Es un juego para dos jugadores.

El que empieza dice un número cualquiera del 1 al 10. El otro jugador le suma al número que dijo su oponente un número del 1 al 10 y dice el resultado. Continúan jugando así, por turnos. Gana el que primero diga 100.

Tiene ventaja alguno de los jugadores?

Si es así, cómo debe jugar para ganar siempre?

Solución

El jugador que dice 89 gana, pues diga lo que diga el otro, puede decir a continuación 100. El 78 asegura decir 89, el 67 decir 78, el 56 decir 67, y así sucesivamente hasta llegar a 1. Por tanto gana el primero. Nótese que 1 es el residuo de la división de 100 entre 11.

Generalizaciones

Qué pasaría si se pudiese empezar diciendo un número de 1 a 15?

Se resuelve igual pero descontando a partir de 100 de 16 en 16.

Gana el primero si comienza diciendo 4 y después 20, 36, 52, 68, 84.

Nótese que 4 es el residuo de dividir 100 entre 16.

Qué pasaría si hubiese que llegar a otro número diciendo números entre 1 y 15?

Se van descartando números de 16 en 16 hasta llegar al menor que se debe decir.

 

Dividiendo

Es un juego para dos jugadores.

Hay tres montones de fósforos. Uno con 10 fósforos, otro con 15 y el último con 20 fósforos.

En cada turno un jugador escoge un montón y lo divide en dos montones más pequeños. El jugador perdedor es el que no puede hacer esto.

Quién es el ganador?

Cuál es la estrategia ganadora?

Solución

Después de cada jugada el número de montones se incrementa en 1.

Al comienzo hay 3 montones de fósforos y al final del juego habrá 45 montones de 1 fósforo cada uno; por tanto hay 42 turnos y el segundo jugador es siempre el ganador.


Generalizaciones

El primer jugador siempre perderá si el número de fósforos es impar y el número inicial de montones es impar.

Si el número de fósforos es impar y el número inicial de montones es par, ganará el primer jugador.

El 1y el 2

Es un juego para dos jugadores.

Diez 1ís y diez 2ís son escritos en un tablero. En cada turno un jugador borra dos números del tablero. Si los números borrados son idénticos, son reemplazados por un 2. Si ellos son diferentes, son reemplazados por un 1.

El primer jugador gana si un 1 queda al final. El segundo jugador gana si un 2 queda al final.

Quién es el jugador ganador?

Solución

En este juego, el concepto de paridad es central.

La paridad del número de 1ís en el tablero permanece invariable.

Así al reemplazar dos 1ís por un 2, la paridad inicial se conserva; al cambiar un 1 y un 2 por un 1, la paridad inicial también se conserva. Hay que notar que la paridad inicial de 1ís es par.

Por lo anterior, en la penúltima jugada no se va a dar el caso que en el tablero quede u 1 y un 2. En conclusión, el último número en el tablero es un 2 y gana el segundo jugador.


Generalizaciones

Debido a que la paridad inicial de 1ís se conserva, el juego lo ganará siempre el segundo jugador, si el número inicial de 1s es par.

Si el número inicial de 1ís es impar, ganará siempre el primer jugador.

La caza cartesiana

Es un juego para dos jugadores.

Se necesita una cuadrícula como la que se presenta a continuación y un lápiz para señalar las casillas.

Las reglas del juego son las siguientes:

Lleva ventaja alguno de los jugadores?

Cómo debe jugar para ganar siempre?

         
         
         
         

META

Solución

Está claro que el jugador que se coloque en la cuarta fila pierde. El otro jugador puede obligarle colocándose en las casillas de los extremos o central de la tercera fila.

Dicho jugador se asegura esas posiciones colocándose en las casillas segunda y cuarta de la segunda fila y a su vez se asegura estas en las posiciones extremas o central de la primera fila. Por tanto lleva ventaja el jugador que empieza si se sitúa en las casillas extremas o central de la primera fila.

Generalizaciones

Qué pasaría si el tablero fuese 7 ´ 7?

Se resuelve de la misma manera. También se fuese cuadrado con un número impar cualquiera de casillas.

 

Carrera hacia 1000

Es un juego para dos jugadores.

Este juego comienza en el número dos. En cada turno un jugador puede añadir al número, un número natural menor que él. El jugador que llega a 1000 gana.

Solución

El primer jugador que diga 500 gana, pues diga lo que diga el otro puede decir a continuación 1000. El 250 asegura decir 500, el 125 decir 250, el 62 decir 125, y así sucesivamente hasta llegar a 3. Por tanto gana el primer jugador.

Las posiciones ganadoras para el primer jugador son: 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3.

 

 

Descenso hacia el cero

Es un juego para dos jugadores.

Este juego comienza con el número 1000. En cada turno un jugador sustrae al número que aparece, un número natural menor, que es potencia de 2; el resultado se escribe y el número anterior es borrado. El jugador que llega a cero gana.

Solución

Las posiciones ganadoras son todos los múltiplos de 3. El primer jugador gana si deja al contrario siempre un número que es múltiplo de 3.

Para que ello ocurra, el primer jugador debe sustraer 1, 4, ó 16 en su primera movida.

Cómo es esto siempre posible?

Si el contrario resta un natural 2k que deja residuo 1 al dividir por 3, es fácil hallar un natural 2k que deja residuo 2 al dividir por 3 con lo que el nuevo número es otra vez múltiplo de 3. Similarmente si resta un número 2k que deja residuo 2 al dividir por 3.

Es fácil chequear que si al final se dejan al contrario múltiplos de 3 como: 3, 6, 9, 12, etc. el ganador es el primer jugador.