2.3 CUANTIFICADORES.



Las expresiones:

Todo hombre es mortal.

Algunos hombres son sabios.



Pueden traducirse respectivamente como:

Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.

Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.



Otros giros utilizados para la expresión "para todo x", son:

Todo x

Cualquiera x

Cada x

que se simbolizan por ""x" y se llama cuantificador universal.


Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:

Hay x

Existe x, tal que

Algún x

Algunos x



Que se simbolizan por "$x" y se llama cuantificador existencial.



Existen tres formas de convertir una función proposicional Px en una proposición a saber:

El enunciado "existe almenos un x tal que Px" se representa como:

($x)(Px)



El enunciado "para todo x, Px" se representa como:

("x)(Px).



Al anteponer a la función proposicional Px un cuantificador, se dice que la variable x ha pasado a ser una variable ligada.
Una proposición de la forma ("x)(Px) es verdadera cuando todas la sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de referencia convierten a Px en enunciado verdadero.
Un enunciado de la forma ($x)(Px) es verdadero cuando al menos un caso de sustitución de la variable x por un término específico del conjunto de referencia, convierte a Px en un enunciado verdadero.
Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: "No todos son mecánicos". En este caso la simbolización será Ø ("x)(Mx) donde Mx es la función proposicional "x es mecánico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres.

Las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden también a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición "ninguno es mecánico" no equivale a la proposición "no todos son mecánicos" sino a la expresión "para todo x, x no es mecánico" que se simboliza (" x)(Ø M x.


Las proposiciones anteriores pueden estar negadas, como por ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como Ø ($ x)(Fx) donde Fx simboliza la expresión "x es un fantasma". Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales puede tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como ($ x) (Ø Mx) donde Mx simboliza la expresión "x es mortal".



Ejercicios.

Simbolizar los siguientes enunciados:

  1. Todo es perecedero.
  2. Hay marcianos.
  3. Alguien no es perfecto.
  4. No hay cosas sólidas.
  5. Si todo es rojo, hay algo rojo.
  6. Nada se mueve.
  7. No todo es perecedero.
  8. Nada es perecedero.
  9. Algunos números negativos no son enteros.
  10. Algunos gobiernos no respetan la libertad.