4.7 SUMA DE NUMEROS BINARIOS - EL SUMADOR.


4.7.1 Sistemas de numeración

4.7.1.1 Teorema (teorema fundamental de numeración). Todo número N puede descomponerse de manera única en la forma poIinómica así:

N = ak Rk + ... + a2 R2+ a1 + a0.


donde R es la base del sistema numérico y ak,..., a2, a1, a0, son los dígitos.

Ejemplo 1.

85630 y 3503 en base 10 se expresan así:

85630(10) = 8 x 104 + 5 x 103 + 6 x 102 + 3 x 101 + 0.

3503(10) = 3 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 3.

El número 10 es la base del sistema decimal, además todo entero mayor que 1 puede servir de base.

Ejemplo 2.

433(5) = 4 x 52 + 3 x 51 + 3

= 100 + 15 + 3 =118(10)

Entonces 118(10) es el equivalente decimal de 433(5).



4.7.1.2 Teorema. Para pasar de una base cualquiera a otra se procede así:



Ejemplo 3.

Obtenga una expresión en base 4 de 243(7).

Solución. Tenemos 243(7) = 2 x 72 + 4 x71 + 3 x 70 =129(10).
Ahora:



Entonces: 2001(4) =129(10) = 243(7).

 

4.7.1.3 Sistema binario. El sistema numérico binario es aquel sistema que tiene como base 2 y por consiguiente dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). Luego en este sistema cualquier número binario contiene sólo ceros y unos.

Como la base del sistema es dos, cada símbolo se multiplica por la potencia de 2 correspondiente para pasarlo al sistema decimal.

Ejemplo 4.

101011(2) = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 43

 

Ejemplo 5.

Convertir el decimal 47 a base 2.



Solución.

Entonces 47(10) = 101111(2).



4.7.2 Suma de números binarios.

4.7.2.1 Una particularidad de toda computadora es que los números los suma en pares solamente. Si se requiere la suma de tres números, primero se suman dos y luego se agrega el tercero a la suma anterior. Por lo tanto sólo consideremos el problema de sumar dos números.


Al combinar dos dígitos en cualquier base, cuando la suma excede o iguala a la base, es necesario acarrear un dígito a la siguiente posición de la izquierda. O sea que, excepto para el dígito de la extrema derecha, consideraremos siempre un acarreo de un dígito que podrá ser 0 o 1 en el sistema binario. Debido a este acarreo será conveniente efectuar la adición en dos pasos:

- Construir un circuito lógico llamado semi-sumador(HA, de Half adder). Este circuito lógico será un dispositivo capaz de efectuar la adición entre dos dígitos binarios. Así el semi-sumador tendrá dos entradas correspondientes a los dos sumandos, y dos salidas, una dando el dígito de la suma y la otra el dígito por acarrear. La tabla correspondiente es la siguiente:

x
y
s
a
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1




- Con el semi-sumador como componente, construir un circuito para la suma paralela de dos números binarios.

La adición de dos números binarios de varios dígitos es equiparable a la adición por posiciones considerando el acarreo de suma eventualmente derivado de la cifra anterior. El diagrama siguiente muestra como pueden sumarse dos números binarios de tres dígitos, por posiciones, mediante combinación de semi-sumadores (HA), y compuertas OR. El número binario puede ser de cuatro cifras en su resultado.







Ejercicios 4.7

 

1) Convertir el número decimal 317 al sistema numérico con base 7.

2) Sí 34123 es un número del sistema con base 5, encuentre su equivalente en el sistema de base 8.

3) Cambie el número binario 10111 al sistema decimal.

4) Dada la función f = A B C + A B(C + D). Entonces:

5) Cuantos semi-sumadores se precisarán para la adición de dos números binarios de 40 cifras.