8.5 Algoritmo de la división
 

8.5.1 Definición.

Dados enteros a, b con b 0 existen enteros q y r tales que
a = b q + r   y   0 r |b|

Al número a se le llama dividendo.
Al número b se le llama divisor.
Al número q se le llama cociente.
Al número r se le llama residuo.

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.
 

Ejemplo 5.

Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre 5 tenemos: 19=5x3+4, es decir, que el cociente es 3 y el residuo 4. Se puede observar que el residuo 4 es mayor que 0 y menor que 5 que es el divisor.
 

Ejemplo 6.

Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre 7 tenemos: 23=7x3+2, lo que quiere decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta y en este caso se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Si la división es exacta, se dice que el divisor b divide al dividendo a, y esto se simboliza de la manera siguiente b|a. Lo anterior motiva la siguiente definición.
 

8.5.2 Divisibilidad

Definición. Un entero a es divisible por un entero b, o b es divisor de a cuando el residuo es cero. Por tanto existe c Z tal que a=bxc.
 

Ejemplo 7.

7 es divisor de 35 porque: 35 = 5 veces 7.

Se dice entonces que 7|35.
 

Ejemplo 8.

9 es divisor de 27 porque: 27 = 3 veces 9.

Se dice entonces que 9|27.

Cuando un entero b no es divisor de un entero a se dice que b no divide a a o que b no es divisor de a y se denota por ba.
 

8.5.3 Teorema. Todo entero que es divisor de otros es divisor de la suma de ellos.
 

Ejemplo 9.

Sea 7 que divide a 35, 42 y 56. Luego: 35 = 5 veces 7, 42 = 6 veces 7 y 56 = 8 veces 7.

Sumando ordenadamente resulta: 133 = (5 + 6 + 8) veces 7.

Luego 133 = 19 veces 7. Se concluye que 7 divide a 133.

El teorema se demuestra generalizando este resultado. Sea d divisor de A, B, C y sean a, b, c sus cocientes respectivos.

Luego: A = ad, B = bd y C =cd

Se concluye: A + B + C= (a + b + c)d

Lo anterior se puede reescribir de la forma siguiente: Sí dï A, dï B, dï C entonces dï (A + B + C).
 

8.5.4 Teorema. Todo entero que es divisor de otro es también divisor de los múltiplos de ese otro.
 

Ejemplo 10.

Como 2 divide a 6, luego 2 dividirá a 4x6 = 24.

En efecto: 24 = 6 + 6 + 6 + 6.

Ahora bien: 2 divide a 6, luego dividirá a 4 veces 6, es decir, a 24 utilizando el teorema 2.2.2.

Generalizando, si d|A entonces d|nAcon nZ.
 

8.5.5 Teorema. Todo entero que es divisor de otros dos, es divisor de su diferencia.
 

Ejemplo 11.

Sea 3 que divide a 27 y a 18. Se tiene: 27 = 9 veces 3 y 18 = 6 veces 3. Restando ordenadamente tenemos: 27 - 18 = (9 - 6) veces 3. Luego 9 = 3 veces 3.

Generalizando, si d es divisor de A y B tal que a y b son sus cocientes respectivos, entonces: A = ad y B = bd. Restando ordenadamente se tiene: A -B = (a -b)d.

Lo anterior se puede reescribir en la forma siguiente:

d|A y d|B, luego d|(A - B).

8.5.6 Teorema. Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la división de éstos.
 

Ejemplo 12.

Sea 7 que divide a un dividendo 49 y a un divisor 35. Como el residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.

Generalizando este resultado se tiene:

Sea la división de A entre B con cociente q y residuo r y sea d un entero que es divisor de A y de B, es decir: A = Bq + r con 0 r IBI. Luego A = Bq + r, por el algoritmo de la división. Entonces, r = A - Bq. Como d divide a B, dividirá a Bq. Si divide a A y Bq divide también a su diferencia A - Bq. Luego d divide a r.
 

8.5.7 Teorema. Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la diferencia de estos dos números es divisible por el tercero.

Demostración

Sean a y b dos números que divididos por d dan residuo r y cocientes q y q´ respectivamente, o sea:

a = dq + r y b = dq´+ r.

Restando ordenadamente se tiene a - b = d(q - q´). Luego d divide a la diferencia entre a y b.

Este teorema tiene gran importancia cuando se estudia una teoría llamada teoría de congruencias.

El recíproco de este teorema también se cumple, es decir: Si la diferencia de dos números es divisible por un tercero entonces estos números divididos por el tercero dan residuos iguales.
 

Ejemplo 13.

Usando el algoritmo de la división, demuestre que cada entero impar es de la forma 4k+1 o 4k+3 con kZ

Cualquier entero al ser dividido por cuatro deja residuo 0 o 1 o 2 o 3. Es decir, todo entero es de una de estas formas: 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3.

De lo anterior se tiene que cualquier número impar es de la forma: 4k+1 o 4k+3.
 

Ejemplo 14.
 

Usando el algoritmo de la división, demuestre que todo número entero se puede escribir en una de las formas 3s, 3s+1, 3s+2.

Sea n un entero cualquiera. Luego al ser dividido por 3 se obtiene residuo 0 o 1 o 2. Entonces se cumple alguno de los tres casos:

n = 3s
n = 3s+1    donde s es el cociente entero de dividir n por 3.
n = 3s+2

 

Ejemplo 15.

Muestre con un contraejemplo que si a|(b + c) no necesariamente a|b o a|c.

Sea a = 4; b = 5; c = 3. Se cumple 4|(5 + 3) pero 45 y 43
 

Ejemplo 16.

Muestre que si a es un entero arbitrario luego 2|a(a + 1).

Si a es par, entonces a(a + 1) es par.

Por tanto a(a + 1) = 2s, luego 2|a(a+1).

Si a es impar luego a + 1 es par, o sea que a(a + 1) es par.

Por tanto a(a + 1) = 2k, luego 2|a(a+1).
 

Ejercicios 8.5

1. Encuentre todos los enteros positivos ntales que 28+211+2n sea un cuadrado perfecto.

2. Juanito sale de casa con varios caramelos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con ellos. A cada amigo que me encontré le di la mitad de los caramelos queque llevaba mas uno. ¿Con cuántos amigos te encontraste? Con seis. ¿Con cuántos caramelos salió Juanito?.

3. Demuestre que si dos enteros a y b divididos por un tercero c dan residuos iguales, los productos am y bm divididos por c darán también residuos iguales.

4. Si a, b, c divididos por d, dan como residuos r, r´ y r´´ respectivamente, demostrar que la suma a+b+c dividida por d, da el mismo residuo que la suma r, r´ y r´´ dividida por d.

5. Demuestre: Sí a es un múltiplo de b más uno, entonces todas las potencias de a son múltiplos de b más uno.

6. Un alumno, al dividir un entero positivo por 8, obtuvo 4 por residuo; y al dividir el mismo número por 12, le dio por residuo 3. Demuestre que el alumno cometió un error.

7. Demuestre que el cuadrado de un número que no es múltiplo de 5 es múltiplo de 5 más o menos 1.

8. Demuestre que la suma de dos enteros impares consecutivos siempre es divisible por 4.

9. Formar los números 49; 4489; 444889; 44448889,..., etc. obteniendo cada uno intercalando 48 en el centro del numero anterior. Demostrar que son cuadrados perfectos y hallar la raíz cuadrada del que consta de 2n cifras.

10. Hallar los números tales que si se les divide por 31 da un residuo que es triple del cociente correspondiente.