INTRODUCCION
Quizás la idea central en la matemática sea el concepto de función. En la historia de la matemática, parece ser RENÉ DESCARTES quien introdujo primeramente en el año de 1637 el concepto de función, para significar la potencia entera de la variable x. Posteriormente LEIBNIZ (1646 – 1716) utilizó dicho concepto para denotar las cantidades asociadas a una curva. LEONHARD EULER (1706 – 1783) lo utilizó luego para identificar la relación entre variable y constantes en una fórmula. Pero, la definición que se usa actualmente de función es debida a DIRICHLET (1805 – 1859) la cual describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.

Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna regla, ley o procedimiento que permita asignar un valor único de y, para cada valor que se considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores.

Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática como ocurre por ejemplo, con el área y de un círculo, en función del radio x ; y = p x2; otras veces es difícil o aún imposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x.

Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y), independientemente de si la ley o regla que relaciona las variables x e y es de tipo matemático, empírica o simplemente descriptiva.


Definiciones.

i. Sean A y B dos conjuntos no vacios.

Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.

Se usan indistintamente los símbolos:

ó

para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.
ii. Al conjunto A se le llama: dominio de la función y se denotará por el símbolo D(f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama: rango de la función y se denotará por el símbolo r(f).

 

Observaciones.

i. Para los conceptos del cálculo que se desarrollarán posteriormente, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general, subconjuntos de R, de esta forma la función:

se llamará función real de variable real.
ii. En la expresión que expresa la correspondencia entre los elementos x de A con los y de B, la letra x se llama: variable independiente y la letra y: variable dependiente.

 

En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora.

Considere por ejemplo los conjuntos:

y , y la función definida por medio del diagrama:

 

 

Se tiene entonces:

La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f(a) = 5

La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3

La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7

La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0

La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5 .

Ahora,

En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función, sino, solamente la regla o correspondencia, entre sus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso, se dice que el dominio es el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la "regla" o "correspondencia", o mas precisamente, los valores para los cuales f(x) es un número real.

Mas adelante se ilustrará la manera de proceder en estos casos.