Ejemplo 1

1.Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.
....
SOLUCIÓN

En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. 

Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene: 

 

Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente: 

 

Ejemplo 2

2.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas:  y.
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SOLUCIÓN

Al resolver simultáneamente el sistema:  se obtiene . 

Asi que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1). 
 
 
 

Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene que  

es el valor del radio. 

Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. con , se obtiene: 

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Ejemplo 3

3.Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos .
......
SOLUCIÓN

Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r es . 
 

Es decir,  (fórmula de la distancia). 
 
 

Esto es,  
 
 

Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del segmento . (Ver fig.). 
 

Asi que:  
 

Luego, la ecuación de la circunferencia pedida es: .

 

Ejemplo 4

4.La ecuación:  representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r.
....
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SOLUCIÓN

La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes: 

 

 

 

Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se deduce que: . 

Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.

 
 

Ejemplo 5

5.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.
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....
 
SOLUCIÓN

 
Como A, B yC no están alineados, hay una circunferencia ð que pasa por A, B y C. 
 
Su ecuación es la forma  
 
 
x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 
Hallemos d, e y f. 

Como A(0, 6) Î C 

02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0 
Asi que: 36 + 12e + f = 0 (1) 
 
 

 
 

Como B(4, -2) Î C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0 
Es decir, 20 + 8d 4e + f = 0 (2) 
 
 

Como C(9, 3) Î C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0 
 
 

Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3) 
 
 

El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así: 

12e + f = -36 

8d 4e + f = -20 

18d + 6e + f = -90 

o también: 

cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0 
 
 

Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 8x 6y = 0 que podemos escribir: 
(x2 8x + 16) + (y2 6y + 9) = 25 
 
 

ó (x 4)2 + (y 3)2 = 25 
 
 

Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5.

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Ejercicio 6

6.Determine los puntos comunes a la circunferencia  y a la recta .
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Ejercicio 7

7.Determine los puntos comunes a la circunferencia  y a la recta .
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SOLUCIÓN

Como en el caso anterior, los puntos comunes son las soluciones al sistema de ecuaciones: 
 

(1) 

(2) 
 

De (2) se tiene:  (3). 
 

Sustituyendo (3) en (1) se puede escribir: 
 

 

La última ecuación, tiene como única solución x = 2 que corresponde a la abscisa del único punto de intersección. 

Sustituyendo el valor de x = 2 en (3) se obtiene: . De esta forma  es el único punto común a la recta y a la circunferencia. 

En este caso, la recta es tangente a la circunferencia en el punto . 
 

La figura adjunta ilustra la situación. 
 
 
 
 

 
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