6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse

1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
F(3, 0) y F(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).
 

Solución: 

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto . 

     
     fig. 6.5.8.
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y
V4(0, -4)
. Además, su ecuación viene dada por :
 

 

2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 

25x2 + 4y2 = 100 

Solución: 

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: 

x 2 + y 2= 1 (porqué?) 
4       25 

 

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. 

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y . 

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0). 

La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida. 

     
     fig. 6.5.9.
3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 

4x2 + y2 16x + 2y + 13 = 0 
 

Solución: 

La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes: 

 

(completación de cuadrado) 

(factorización y simplificación) 

 

(dividiendo por 4) 
 
 

Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).
 

Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). 

Como , se tiene que los focos están localizados en los puntos y . 

     
     fig. 6.5.10.
4. Propiedad Óptica de la Elipse 

En geometría plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un triángulo ABC y un punto D sobre BC (ver figura 6.5.11), entonces: 
 
 

es Bisectriz del ángulo  

Esta propiedad permite construir la normal y por ende la tangente en un punto cualquiera de la elipse.


Al unir el punto P1 de la elipse con F y con F, puede demostrarse que la bisectriz del ángulo FP1F 
es la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.).
fig. 6.5.11.

Esta propiedad se conoce como la propiedad óptica o focal de la elipse y tiene interesantísimas aplicaciones:

fig. 6.5.12.

1) Considérese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva. Como nn es bisectriz del ángulo FP1F, entonces, ángulo de incidencia = ángulo de reflexión y por tanto el rayo se reflejará pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la construcción de conchas acústicas. 

Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie de revolución e  imaginemos un salón  cuyos  techos y  paredes son la superficie anterior. Cuando una persona  habla  desde  un  foco F, puede ser escuchada en el  otro foco a  pesar de  estar muy  lejos del anterior y puede  no ser  audible en otros puntos intermedios a causa de que las ondas de sonido chocan contra las paredes y son  reflejadas  en el segundo foco y llegan a él en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo. 

2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 1630) determinó empirica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidos como las leyes de Kepler: 

    1. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos. 

    2. El radio vector trazado desde el sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 

    3. Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la órbita elíptica.

Newton (1642 1727) partiendo de estas tres leyes empíricas y utilizando elementos del cálculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitación universal: "la fuerza que ejerce el sol so- bre un planeta es una fuerza de atracción radial e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada por donde m: masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitación universal". 

Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad , sabemos que si llamamos p: distancia foco - directriz, la ecuación de la elipse es (1) donde y donde como se puede demostrar fácilmente que a > b. 

Ahora, cuando , dejando fijos los demás elementos; directriz, foco y p, la elipse se aproxima a una circunferencia y por tanto la órbita es cada vez mas cercana a una circuferencia  En efecto: 

. 

Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor y la ecuación (1) tiende a ser la ecuación de una circunferencia. 

Esto puede verse también en el siguiente cuadro. 

p = 1 
 

0.5 

0.4 

0.2 

0.1 

0.01 

0.002 

0.001

0.6666 

0.4762 

0.2083 

0.1010 

0.0100 

0.002 

0.001

0.57735 

0.4364 

0.2041 

0.1005 

0.0100 

0.002 

0.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen órbitas que son aproximadamente circulares: 
 

Mercurio 

Venus 

Tierra 

Marte 

Júpiter

0.21 

0.01 

0.02 

0.09 

0.05

Saturno 

Urano 

Neptuno 

Plutón

0.06 

0.05 

0.01 

0.25

Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una excetrici- dad de y una órbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo (1 U.A.: 150 millones de kilómetros = semieje mayor de la órbita de la tierra » distancia tierra sol). El período de revolución de este cometa es de 76 años. Fue observado por  el astrónomo  Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvería a aparecer en 1758. Asi efectivamente fue pero  Halley no  pudo ver verificada su predicción ya que  murió  en 1742. Esta  periodicidad de la órbita del Halley  fue uno de los sucesos mas convincentes a favor de la teoría de Gravitación de Newton.