Introducción
La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C;r) es el conjunto siguiente: 

C (C; r) = {P tal que  = r}
..
5.1. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) . 
 
 
Entonces: 

 

Es decir, 

 

Por lo tanto: 

(1)
fig. 5.1.

Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r. 

Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2. 

La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1) 

El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que: 

32 + 42 = 25 

De (1) se deduce que:  

Lo que muestra que: 

para todo x Î [-5, 5], el punto 

está en la semicircunferencia superior y que  

para todo x Î [-5, 5], el punto 

está en la semicircunferencia inferior.
fig. 5.2.
....
5.2. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA CIRCUNFERENCIA.
La expresión Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (2) 

Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y.  

Nótese que cuando A = B = C = 0, la ecuación (2) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean ambos cero). 

La ecuación 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (2). 

En este caso A = 3, 2B = -2, C = 5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7 

Supóngase ahora que en la ecuación (2), B = 0, A = C 0. 

Luego de dividir por A, (2) toma la forma: 

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) donde  

Completando trinomios cuadrados perfectos en (3) se tiene: 

(x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 – f 

ó (x + d)2 + (y + e)2 = d2 + e2 – f (4) 

En el análisis de (4) pueden presentarse tres casos: 

Si d2 + e2 – f > 0, podemos hacer r2 = d2 + e2 – f y escribir
(x + d)2 + (y + e)2 = r2  Luego, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación (4) representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio  

Cuando d2 + e2 – f = 0, (4) toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuación que solo es satisfecha por las coordenadas del punto C(-d, -e). 

Luego, si d2 + e2 – f = 0, el único punto del plano que satisface (2) es el punto C(-d, -e). 

Si d2 + e2 – f < 0, no hay ningún punto del plano que satisfaga (2). Esto significa que {(x, y)ÎR2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}= f

....
5.3. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES
Considere de nuevo la ecuación: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) 

Según se ha establecido, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación anterior representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio  
 

Si se regresa a (4) se observa que para poder tener determinada la circunferencia se necesita determinar los valores de tres parámetros: d, e y f. 

El ejemplo 1. de la sección 5.5. muestra como encontrarlos dando tres condiciones que debe cumplir la curva que se pide.
..
..
5.4. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA.
5.4.1. Recta tangente a una circunferencia y de pendiente conocida. 

Considere la circunferencia C(o; r) : x2 + y2 = r2 (1) y la familia de rectas de pendiente m dada: y = mx + b, b ÎR . (2).

Si se quieren encontrar los puntos comunes de la circunferencia y una recta y = mx + b de la familia se resuelven simultáneamente (1) y (2) .

Llevando (2) a (1) se obtiene: 

x2 + (mx + b)2 = r2 

x2 + m2x2 + 2mbx + b2 = r2 

Por tanto, (1 + m2) x2 + 2mbx + (b2 - r2) = 0 (3)

Las raices de (3) son las abscisas de los puntos donde la recta y = mx + b corta a la circunferencia x2 + y2 = r2.

Para precisar mas, mirese el discriminante D de (3). 

D =  

=  

= 2

La condición para que la recta y = mx + b de la familia corte a la circunferencia es que: 

r2 (1 + m2) – b2 > 0, o que b2 < r2 (1 + m2) 

En este caso la ecuación (3) tiene dos raices reales que corresponden a las abscisas de los dos puntos donde y = mx + b (con b2 < r2 (1 + m2)) corta a la circunferencia.

Si r2 (1 + m2) – b2 < 0, osea, si r2 (1 + m2) < b2, la ecuación (3) tiene raices imaginarias lo cual quiere decir que toda recta de ecuación y = mx + b con r2 (1 + m2) < b2 no corta a la circunferencia. 

Finalmente, si r2 (1 + m2) – b2 = 0, o si la ecuación (3) tiene una única raíz lo cual quiere decir que las rectas  solo tienen un punto en común con la circunferencia. Estas dos rectas se llaman las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 = r2 de pendiente m (m dada).

fig. 5.3.

Puede demostrarse que los puntos de tangencia T y T’ son simétricos respecto a 0. 
 

Nótese que la familia de rectas de ecuación donde m ÎR , representa el haz de rectas tangentes a la curva x2 + y2 = r2. 
 

5.4.2. Recta tangente a la circunferencia por un punto dado de la curva. 

Sea P1(x1, y1) un punto de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = r2. 

Queremos hallar la ecuación de la recta tangente a  

la curva en el punto P1(x1, y1) de la misma. 
 
 

fig. 5.4.

Al considerar otro punto P2(x2, y2) de la curva próximo a P1(x1, y1), la ecuación de la secante  es: 

(1) 
 
 

Ahora, como P2(x2, y2)ÎC(0, r), x22 + y22 = r2. 

Como P1(x1, y1) ÎC(0, r), x12 + y12 = r2. 

De las dos últimas ecuaciones se desprende que x22 - x12 + y22 - y12 = 0. 

Por tanto, y22 - y12 = - (x22 - x12) 
 

Osea que  que llevada a (1) permite escribir la ecuación de la secante  así: 

 

Luego, si se denota por m a la pendiente de la secante  se tiene que m=  

La pendiente de la tangente a la C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva es, por definición,  
 
 

En este caso, y debido a la continuidad de la curva, cuando  y se tiene que: . 
 
 

De este modo, la recta tangente t a la curva C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación: 

que se puede escribir en la forma: 

o también, 

. 

Pero como P1(x1, y1) está en la circunferencia, x12 + y12 = r2. 
Así que la tangente a la curva x2 + y2 = r2 en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación:  
 
 

Como un corolario puede mostrarse que la tangente t a x2 + y2 = r2 por el punto P1(x1, y1) es perpendicular al radio .

En efecto,  

También,  Luego mt . m=-1 lo que nos demuestra que t es perpendicular a .
....
5.5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO CONCÉNTRICAS
Se tienen dos circunferencias C1 y C 2 de ecuaciones: 

C1: x2 + y2 + d1x + e1y + f1 = 0 y C 2: x2 + y2 + d2x + e2y + f2 = 0, C 1 y C2: no concéntricas. 

La primera puede escribirse: 
 

C 1: 

Se puede asumir que d12 + e12 – 4f1 > 0 . 

Luego  es el radio C 1 y su centro es el punto . 

La ecuación de la segunda puede escribirse: 

C 2: 
 
 

De nuevo se puede asumir que d22 + e22 – 4f2 > 0 . 
 

C 2 tiene de esta manera radio y centro en . 
 
 

Como C1 y C 2 son no concéntricas, (d1, e1)¹ (d2, e2). 
 

Llámese C1C2: a la linea de centros. 
 
 

Es claro que C1C2 =  
 
 

=  
 
 

Puede presentarse uno de los siguientes casos: 

1. C1 y C 2 son exteriores:
En este caso, 

r1 + r2 < C1C2 
 
 
 
 

Osea, 

+ 

<  
 
fig. 5.5.
 
 

2. C1 y C 2 son tangentes exteriormente: 
 
 

En este caso, 
                 ___ 
r1 + r2 = C1C2 
 
fig.5.6.

3. C1 y C 2 son secantes: 
 

Se tiene entonces en el triángulo C1C2A: 
___ 
C1C2  
<r1 + r2
fig. 5.7.

4. Tangentes interiormente: 
 
 

___ 
C1C2 =r1 - r2 
 
 
fig. 5.8.

5. Que C1 y C2 sean interiores: 
En este caso: C1C2 +r2 + d = r1 con d > 0

Por lo tanto, r1 – r2 = C1C2 + d 

Osea que: C1C2 <r1 - r2 

 
C1C2 +r2 + d = r1 con d > 0 

Por lo tanto, 

r1 – r2 = C1C2 + d 

Osea que: 

C1C2 <r1 - r2
 
fig. 5.9.

Ahora es fácil demostrar la siguiente proposición:

Proposición. 

Considere dos circunferencias C1(C1, r1) y C 2(C2, r2) con r2 r1 

Entonces: C1 y C2 son exteriores  r1 + r2 < C1C2 < r1 - r2 

C 1 y C2 son tangentes exteriormente  r1 + r2 = C1C2 

C 1 y C2 son secantes  C1C2 < r1 + r2 

C 1 y C2 son tangentes interiormente  C1C2 = r1 - r2 

C 1 y C2 son interiores  C1C2 < r1 - r2 
 

Demostración: Se deja como ejercicio para el lector.
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