1. Use la definición de la derivada de una función, para calcular o f ’(x) si  y evaluarla en 


Solución
De acuerdo a la definición 9.2., se tiene: 

    (indeterminado de la forma 




En particular, 

Obsérvese que no existe en  y por lo tanto, aunque el dominio de  es , el dominio de su derivada es 


2. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal que: > para todo x e y. Además, f(0)=1 y  existe. Probar que f ’(x) existe para todo x.


Solución
De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f

    (Hipótesis) 
    (factor común) 
    (1) 
Ahora,  y como por hipótesis, 

, se tiene que: 

(2). 

De la igualdad (2) se deduce también que  existe. 

Sustituyendo (2) en (1) se concluye que: 

y además f ’(x) existe.


3. Considere la función f definida por:

Determine el valor de las constantes a y b para que f ’(1) exista.



Solución
En primer lugar si f ’(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 (sección 9.3.), f es continua en x = 1. O equivalentemente, 

Esto es,  (1) 

Ahora, decir que f ’(1) existe, equivale a afirmar que f ’+(1) y f ’- (1) (las derivadas laterales) existen y son iguales. 

Pero,  (Porqué?) 
 

Asi que:  (2) 

Igualmente, 

(3) (Porqué?) 

Sustituyendo (1) en (3), se tiene: 

Es decir,  (4) 

De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y en consecuencia, b = -1. 

Con los valores de a y b asi encontrados, la función f puede escribirse asi: 


4. Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones: 

a.

b.

c.

d.



Solución
a) Por la regla de la cadena:

Pero,  (R.D.7 ) 

Luego, 

b) Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g (t) con exponentes racionales. Asi:

Entonces: 

(Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.). 


 

c.

Pero, 

Luego, 
 

d. En primer lugar note que: 

Asi que: 

Pero, 

Luego, 


5. De dos funciones f y g se sabe que: 

¿En que valor de x es posible calcular ? ¿A que es igual? 

¿En que valor de x es posible calcular ? ¿A que es igual?



Solución
La regla de la cadena (R.D.8.) establece que : 
Existen de acuerdo a la información inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 y 
x = 5. 

Si x = 3,  pero no tenemos información acerca de los valores g(3) ni g ’(3). Asi que no es posible calcular  en x = 3. 

Si x = 5, 

Pero, 

Luego, 

Se puede verificar y se deja como ejercicio que la información dada es insuficiente para calcular . (¡Verifique!).


6. Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula: 

, hallar  ó .



Solución
La ecuación:  puede escribirse en las formas equivalentes: 

(1) 

Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene: 


, de donde, 


7. Suponga que y (x) es una función diferenciable de la variable x; y además las variables x e y están ligadas por la fórmula: 
(1)
Suponga que y(1)=1. Hallar siguiendo estos pasos: 
a)  Demuestre que: 

b)  Use la parte a. para calcular y’(1). 

c)  Derive la ecuación obtenida en a. para demostrar que: 

d) Use la ecuación obtenida en c. para calcular  (Nota: Se conocen ). 



Solución
a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene: 

(2) 

b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) así: 

Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene: 

Esto es, 
 

De donde, 

c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene: 

(3) 

d. Como y depende de x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) así: 

Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene: 

Pero, . Luego, 

Esto es, 

De donde, 


8. Determine las ecuaciones de la recta tangente  y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación: , en el punto P (3, 1). 


Solución
Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.) 
 

fig. 1.

La pendiente de , viene dada por: 

Pero, 

Asi que, 

Usando ahora la forma: punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene entonces para , es la ecuación de la recta tangente. 
Ahora, como , se deduce que 
Usando nuevamente la forma: punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene para  es la ecuación de la recta normal.


9.  Encontrar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación , que es paralela a la recta de ecuación: x+12y-6=0

Solución
En la fig. 2. aparece la gráfica de la curva y de la recta dada. 
 

fig. 2.
Si se denota por LN la recta normal, como  es paralela a , se tiene que  (sección 4.5.). 

Para determinar la ecuación de , hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia. 
Para ello, se usa el hecho de que  (: pendiente de la tangente). 

De otro lado, 

Asi que 

Este último resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7). 

En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema. 

Una de ellas, pasa por P1 (2, 9) y pendiente 
Su ecuación viene dada por: 
La otra, pasa por P2 (-2, -7) y pendiente 
Su ecuación viene dada por: 


10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva:  en el punto (3, 1). 


Solución
En primer lugar note que: , indicando con esto que el punto (3, 1) pertenece a la curva. 

Ahora, 

Para determinar  se usa derivación implícita en la ecuación: 

Esto es, 

De donde, 

Luego, 

Es decir, 

Asi que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por: 


11. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 mts/seg. Hallar: 
   a. La velocidad cuando han transcurrido 1 y 3 seg. 
   b.  El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. 
   c. La altura máxima alcanzada. 
   d. La rapidez al llegar de nuevo al suelo.


Solución
Partiendo de la ecuación del movimiento conocida en física: , en donde: m/seg (velocidad inicial); g es la aceleración (gravedad), que se toma aproximadamente en 10 m/seg2 y cuya dirección positiva es hacia abajo, se puede escribir: 

S = f(t) = 20t– 5t2 (1)
a. La velocidad en cualquier instante t, viene dada por: 

Esto es,  (2)

(Velocidad cuando ha transcurrido 1 seg.) 

(Velocidad cuando han transcurrido 3 seg.) 
 

b. Del enunciado inicial y de la parte a) puede notarse que: 

Cuando t = 0, V = 20 m/seg. 

Cuando t = 1, V = 10 m/seg. 

Cuando t = 3, V = -10 m/seg. 

Estos resultados indican que hubo un instante en el cual la velocidad fue V = 0, es en ese instante cuando la pelota alcanza su altura máxima. 

pero seg. (tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima). 

Ahora, como en la ecuación (1), S indica la posición (distancia) en cada instante t, se tiene en particular para t = 2,

  S = 20(2) – 5(2)2 = 20 m. (altura máxima).

d. Para determinar la rapidez al llegar de nuevo al suelo, debe determinarse primero, el tiempo que tarda en hacerlo y luego sustituir este valor de t en (2). 

Para ello se hace S = 0 en (1): 

0 = 20 t – 5 t 2
 

      t = 0 (momento del lanzamiento)  t = 4 (momento en que regresa al suelo) 
Ahora 

la rapidez es 


12. Determine, si existen los extremos absolutos (máx. y mín.) de la función:  en el intervalo [-3,2] 


Solución
Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto esta garantizada por el teorema 2 de la sección 9.9.3. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema. 

Considere los puntos críticos por medio de la derivada. 

son los únicos puntos críticos. 

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: 

Máximo absoluto de f en  es 

Mínimo absoluto de f en  es 


13. Determine, si existen los extremos absolutos de la función:  en el intervalo 
[-5,4]


Solución
La continuidad de f en el intervalo , garantiza la existencia de extremos absolutos de f en dicho intervalo. 
Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada. 

El único punto crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note que  no tiene solución). 

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: 

Máximo absoluto de f en  es 

Mínimo absoluto de f en  es 
 


14. Considere la función f definida por: 

Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [-3,3] .



Solución
La función es continua en todos los puntos del intervalo  (verifique). Por el teorema 2 (sección 9.9.3.), f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para determinarlos, se consideran primero los puntos críticos de f

Puesto que , la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto corresponde a un punto crítico de f

De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuencia, el único punto crítico es x = 1. 

Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores: 

Máximo absoluto de f en  es 

Mínimo absoluto de f en  es 
 


15. Analizar si  satisface las hipótesis del T.V.M. para derivadas en el intervalo  y en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisfacen la conclusión.


Solución
i.  es continua en  ¿Porqué? 

ii. es derivable en  ¿Porqué? 

Como f cumple la hipótesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C tal que: 

Pero, 

Asi que: 

Por lo tanto, 

De donde, 

De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es  que es la única solución buscada.


16. Para la función , estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el intervalo
[-2, 2].


Solución
   i. Claramente la función es continua en [-2, 2]. 
  ii. , no existe en el punto x = 0. 
Luego, no se cumple la condición ii. del teorema, y en consecuencia, no puede garantizarse la existencia del punto C

Ahora,  y como  no se anula para ningún valor real de x, entonces la igualdad:  no se cumplirá en ningún C en (-2, 2).


17.  a. Demostrar que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces, la función es constante en dicho intervalo. 

b. Use la parte a. para demostrar que: es constante. Hállese el valor de dicha constante.



Solución
a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del T.V.M. (Porqué?). 

Ahora, sean dos puntos cualquiera del intervalo [a, b] y sea f la función. 

Para probar la parte a. es suficiente probar que , lo cual obliga a que la función sea constante. 

Según el T.V.M., existe un número C entre  tal que: 

y como , se concluye entonces que 

b. (TEOREMA SECCIÓN 9.6.) 

Como , se sigue de la parte a. que  es una función constante. 

Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la función en algún número específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo, 

Se tiene entonces, 

Luego,  para todo x. (x en el dominio común de la secante y la tangente). 

Este resultado no debe sorprender puesto que , es una identidad trigonométrica conocida.


18. Evaluar los siguientes límites: 
a. 

b.



Solución
a. El límite es indeterminado de la forma 
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x; así: 


Como , x < 0 y se puede escribir  en el numerador. 

Luego, 

 

b. Este límite también es indeterminado de la forma 

Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador nuevamente por x y como , se puede escribir  en el numerador, asi: 


19. Evaluar el siguiente límite: 



Solución
El límite es indeterminado de la forma: 

Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se divide la expresión inicial por  y luego, se divide numerador y denominador por x

Esto es, 


 

Ahora, como x > 0 se puede escribir  en el denominador de la última fracción. 
De esta forma:

20. Evaluar los siguientes límites: 
a. 

b. 


Solución
a. Al dividir numerador y denominador por  (mayor potencia de x), se obtiene: 

b. Nótese que como la función  es una función par, esto es , significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos, es el mismo. Asi que, 


21. Trazar la curva correspondiente a la función: 


Solución
Determinemos los elementos fundamentales de la curva como son: 

1. Dominio natural de f (x).

Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son  (valores de x que anulan el denominador). De esta forma: .

2. Interceptos:
i. Con el eje x (se hace y = o en (1)): 
Esta última ecuación no tiene Solución real, indicando con esto que la curva no corta al eje x.
 

ii. Con el eje y (se hace x = o en (1)):  Asi que, la curva corta al eje y en el punto .

3. Asíntotas:

i. Verticales: son aquellos valores de x que anulen el denominador de (1). En este caso, las rectas verticales x = 2 y x = – 2 son asíntotas verticales de la curva.

Además, 


 

ii. Horizontales:
Como: , se deduce que y = 1 es una asíntota horizontal de la curva.  De otro lado, como, , se deduce entonces que los valores de la función para valores grandes de x en valor absoluto, son mayores que 1, indicando con esto que la curva siempre está por encima de la curva. 

En la fig. 3. se indica el intercepto de la curva con el eje y, el comportamiento de la curva cerca de las asíntotas. 

 

fig. 3
iii. Oblicuas: No tiene. ¿Porqué?.

4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos.

Para ello, se hace el análisis de la primera derivada. 

Como  (positivo), el signo de la derivada, solo depende del signo del factor (–14 x). Asi: 
 

Signo de (–14 x) ó Signo de f ’(x)    +++++++++++++++| - - - - - - - - - - - - - - -

                                                                                    0
El diagrama indica que: f (x) es creciente en 
f (x) es decreciente en 
En consecuencia, 
x = 0, corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo. .
5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión.

Para ello, se hace uso de la segunda derivada. 

Si 

Como  (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores del denominador. 
 

Signo de (x – 2)3- - - - - - - - - - - - - - - | +++++++++++++++

                                                    2
Signo de (x + 2)3- - - - - - -| ++++++++ +++++++++++++++
                              -2 
Signo de f ’’(x) +++++++++| - - - - - - - |+++++++++++++++
                             -2                   2 
El signo de la segunda derivada indica que: 

f (x) es cóncava hacia arriba (+) en 

f (x) es cóncava hacia abajo (-) en 

En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, indicando con esto que hay "inflexión" pero, no existe punto de inflexión (¿Porqué?). 

La fig. 4. recoge toda la información obtenida y proporciona una muy buena aproximación a la gráfica de la función dada. 

 

 fig. 4

22. Trazar la curva correspondiente a la función: 
(1)


Solución
1. Dominio natural de f(x):

El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el denominador). Asi que 

la función es continua para todo , por ser el cociente de dos polinomios.

2. Interceptos:
i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): . Luego el punto  es el intercepto de la curva con el eje x
ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): . Luego el punto  es el intercepto de la curva con el eje y.

3. Asíntotas:

i. Verticales: El único valor de x que anula el denominador es x = 1 y esta es la única asíntota vertical de la curva.

De otro lado: 


 

ii. Horizontales: No tiene (¿Porqué?). 

iii. Oblicuas: Como el grado del numerador es 3, una unidad mas que el grado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + b

Para determinarla, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y se obtiene: 

Asi que  es la asíntota oblicua de la curva. 

Para estudiar el comportamiento de la curva "cerca" de la asíntota se estudia la diferencia: , para un mismo valor de x

Donde : la ordenada de la curva y : ordenada de la asíntota. 

Esto es,  Si x >0, entonces, , indicando con esto, que para valores grandes de x (positivos), la curva esta por encima de la asíntota. 

Si x <0, entonces, , lo cual indica que para valores grandes de x (negativos), la curva esta por debajo de la asíntota. 

En la figura 5 se ilustra los interceptos de la curva con los ejes coordenados, asi como también el comportamiento de la curva "cerca" de las asíntotas. 

 

fig. 5.

4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos.

Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada. 

El signo de f ’(x) depende de los signos que poseen los factores (x – 5) y (x – 1)3, puesto que 
(x + 1)2 es siempre positivo. 

Signo de (x – 5)  

Signo de (x - 1)3

Signo de f ’(x)


       
El signo de f ’(x) indica: 

f crece en los intervalos 

f decrece en el intervalo 

x = 1 corresponde a un máximo relativo

x = 5 corresponde a un mínimo relativo

5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f’’(x).

El signo de f’’(x) solo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y  son siempre positivos.

Signo de (x + 1)

El signo de f ‘’(x) indica:

f(x) es cóncava hacia abajo  en 

f(x) es cóncava hacia arriba  en 

El punto  corresponde a un punto de inflexión, es decir en  la curva cambia de concavidad.

En la fig. 6. se traza la curva con todos los elementos asi obtenidos


fig. 6.


23. Trazar la gráfica de la función: (1), para x en


Solución
Como solo interesa la parte de la gráfica correspondiente al intervalo, solo se tiene en cuenta para su análisis los siguientes elementos:

1. Continuidad:
La función es continua en el intervalo  por ser suma de funciones continuas

2. Interceptos:

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)) y se resuelve para x.

Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene por la fórmula general:
 
La ecuación , carece de solución (¿Porqué?). 

Si , entonces 

Luego, los interceptos de la curva con el eje x, son los puntos:

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así .

3. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos

Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f’(x).

El signo de la derivada depende del signo de los factores  en el intervalo .
es positivo, si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir,  si , es negativo, si x pertenece al segundo o al tercer cuadrante, es decir,  si .
Ahora, como  siempre que , se deduce que  si  si .
También,  siempre que  ó , así que  si 

Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir:
 


Signo de  ( 2 cos x)           
en el intervalo  
 
 

Signo de     
en el intervalo   
 

Signo de    
en el intervalo            
 
 


El signo de  indica que  es creciente en los intervalos:  y, 
es decreciente en los intervalos:  y, .

Del diagrama anterior, se puede concluir también que:

corresponde a un máximo relativo, es decir,  es un punto máximo de la curva

corresponde a un máximo relativo, es decir,  es un punto máximo de la curva

corresponde a un mínimo relativo, es decir,  es un punto mínimo de la curva

Finalmente,  corresponde a un mínimo relativo, es decir,  es un punto mínimo de la curva

4. Intervalos de Concavidad. Puntos de inflexión

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada: .

 

(2)
 

Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación: .Es decir,
Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene:
(3)
Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pueden obtener los siguientes valores aproximados de x:
Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexión, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada
 
Los valores dados en (1), permiten escribir  así:
Mediante consideraciones similares a la hechas para , se puede obtener la información que aparece en el diagrama siguiente:
 
Signo de   

Signo de 

Signo de   


 
El signo de  indica que:

es cóncava negativa en: 

es cóncava positiva en: 

Además, se obtienen los siguientes puntos de inflexión:

Con la información dada en los cuatro puntos anteriores, se puede trazar una buena aproximación a la curva correspondiente, como aparece en la fig. 7.
 
 


Fig. 7.