1. Use la definición
de la derivada de una función, para calcular y’ o f ’(x)
si 
y evaluarla en  . |
|
|
| 1. Use la definición
de la derivada de una función, para calcular y’ o f ’(x)
si
y evaluarla en . |
|
|
| Solución |
| De acuerdo a la definición
9.2., se tiene:
(indeterminado de la forma  )
|
2. Sea f una función
cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal que:  >
para todo x e y. Además, f(0)=1 y 
existe. Probar que f ’(x) existe para todo x y  . |
|
|
| Solución |
| De acuerdo a la definición
de la derivada, se tiene para f:
(Hipótesis) 
(factor común) 
(1) 
y como por hipótesis,
(2). De la igualdad (2) se deduce también
que Sustituyendo (2) en (1) se concluye que:
|
| 3.
Considere la función f definida por:
Determine el valor de las constantes a y b para que f ’(1) exista. |
|
|
| Solución |
| En primer lugar si f ’(1)
existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al
teorema 1 (sección 9.3.), f es continua en x = 1.
O equivalentemente,
Esto es, Ahora, decir que f ’(1) existe, equivale a afirmar que f ’+(1) y f ’- (1) (las derivadas laterales) existen y son iguales. Pero,  
(2)
Igualmente,
Sustituyendo (1) en (3), se tiene:
Es decir, De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y en consecuencia, b = -1. Con los valores de a y b asi encontrados, la función f puede escribirse asi:
|
| 4. Use las reglas de derivación
para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a. b. c. d. |
|
|
| Solución |
| a) Por la regla de la cadena:
Pero,
Luego, b) Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g (t) con exponentes racionales. Asi:
Entonces:
(Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.).
c. Pero,
Luego, d. En primer lugar note que: Asi que: Pero, Luego,
|
| 5. De dos funciones f
y g se sabe que:
¿En que valor de x
es posible calcular ¿En que valor de x
es posible calcular |
|
|
| Solución |
La regla de la cadena (R.D.8.) establece
que : 
Existen de acuerdo a la información inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 y x = 5. Si x = 3, Si x = 5, Pero, Luego, Se puede verificar y se deja como
ejercicio que la información dada es insuficiente para calcular |
| 6. Si las variables x
e y están ligadas implícitamente por la fórmula:
|
|
|
| Solución |
La ecuación: 
puede escribirse en las formas equivalentes:
Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene:
|
7. Suponga que y (x)
es una función diferenciable de la variable x; y además
las variables x e y están ligadas por la fórmula:
Suponga que y(1)=1. Hallar  siguiendo
estos pasos:
a) Demuestre que: |
|
|
| Solución |
| a. Derivando implícitamente
en (1) se obtiene:
b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) así:
Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:
Esto es, De donde, c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:
d. Como y depende de x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) así:
Pero, Esto es, De donde, |
8. Determine las ecuaciones
de la recta tangente 
y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva
de ecuación:  ,
en el punto P (3, 1). |
|
|
| Solución | |
Note en primer lugar que el punto
de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.)
La pendiente de
Pero, Asi que, Usando ahora la forma: punto –
pendiente de la ecuación de la recta, se tiene entonces para |
|
9. Encontrar la ecuación
de la recta normal a la curva de ecuación  ,
que es paralela a la recta de ecuación: x+12y-6=0 |
| Solución | |
En la fig. 2. aparece la gráfica
de la curva y de la recta dada.
es paralela a  ,
se tiene que 
(sección 4.5.).
Para determinar la ecuación
de De otro lado, Asi que Este último resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema. Una de ellas, pasa por P1
(2,
9) y pendiente |
|
10. Encuentre la ecuación
de la recta tangente a la curva: 
en el punto (3, 1). |
|
|
| Solución |
En primer lugar note que:  ,
indicando con esto que el punto (3, 1) pertenece a la curva.
Ahora, Para determinar Esto es,    
Luego, Es decir, Asi que la ecuación de la
recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por:
|
| 11. Se lanza una pelota verticalmente
hacia arriba con una velocidad inicial de 20 mts/seg. Hallar:
a. La velocidad cuando han transcurrido 1 y 3 seg. b. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. c. La altura máxima alcanzada. d. La rapidez al llegar de nuevo al suelo. |
|
|
| Solución |
Partiendo de la ecuación
del movimiento conocida en física:  ,
en donde:  m/seg
(velocidad inicial); g es la aceleración (gravedad), que
se toma aproximadamente en 10 m/seg2 y cuya dirección
positiva es hacia abajo, se puede escribir:
S = f(t) = 20t–
5t2 (1)
Esto es,
b. Del enunciado inicial y de la parte a) puede notarse que: Cuando t = 0, V = 20 m/seg. Cuando t = 1, V = 10 m/seg. Cuando t = 3, V = -10 m/seg. Estos resultados indican que hubo un instante en el cual la velocidad fue V = 0, es en ese instante cuando la pelota alcanza su altura máxima. pero Ahora, como en la ecuación (1), S indica la posición (distancia) en cada instante t, se tiene en particular para t = 2, d. Para determinar la rapidez al llegar de nuevo al suelo, debe determinarse primero, el tiempo que tarda en hacerlo y luego sustituir este valor de t en (2). Para ello se hace S = 0 en (1): 0 = 20 t – 5 t 2  t
= 0 (momento del lanzamiento) 
t = 4 (momento en que regresa al suelo) 
la rapidez es |
12. Determine, si existen
los extremos absolutos (máx. y mín.) de la función: 
en el intervalo [-3,2] |
|
|
| Solución |
| Como f es continua en el
intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto
esta garantizada por el teorema 2 de la sección 9.9.3. Para determinarlos,
se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo
teorema.
Considere los puntos críticos por medio de la derivada.
Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
Máximo absoluto de f
en Mínimo absoluto de f
en |
13. Determine, si existen
los extremos absolutos de la función: 
en el intervalo [-5,4] |
|
|
| Solución |
La continuidad de f en el
intervalo  ,
garantiza la existencia de extremos absolutos de f en dicho intervalo.
Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada. 
El único punto crítico
de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note que Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
Máximo absoluto de f
en Mínimo absoluto de f
en |
| 14. Considere la función
f
definida por:
Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [-3,3] . |
|
|
| Solución |
La función es continua en
todos los puntos del intervalo 
(verifique). Por el teorema 2 (sección 9.9.3.), f (x) posee
máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para
determinarlos, se consideran primero los puntos críticos de f:
Puesto que De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuencia, el único punto crítico es x = 1. Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:
Máximo absoluto de f
en Mínimo absoluto de f en |
15. Analizar si 
satisface las hipótesis del T.V.M. para derivadas en el intervalo 
y en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisfacen
la conclusión. |
|
|
| Solución |
| i.
es continua en
¿Porqué?
ii. Como f cumple la hipótesis
del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C,
Pero, Asi que: Por lo tanto, De donde, De estos dos valores, el único
que pertenece al intervalo (1, 3) es |
16. Para la función  ,
estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el intervalo[-2, 2]. |
|
|
| Solución |
| i. Claramente
la función es continua en [-2, 2].
ii.  ,
no existe en el punto x = 0.
Luego, no se cumple la condición ii. del teorema, y en consecuencia, no puede garantizarse la existencia del punto C. Ahora, |
| 17. a. Demostrar que
si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces, la
función es constante en dicho intervalo.
b. Use la parte a. para demostrar
que: |
|
|
| Solución |
| a. Note en primer lugar que
f
satisface las hipótesis del T.V.M. (Porqué?).
Ahora, sean Para probar la parte a. es suficiente
probar que Según el T.V.M., existe un
número C entre
b.
Como Para hallar el valor de la constante,
basta evaluar la función en algún número específico,
el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo, Se tiene entonces, Luego, Este resultado no debe sorprender
puesto que |
18. Evaluar los siguientes
límites:
a. |
|
|
| Solución |
a. El límite es indeterminado
de la forma  .
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x; así:
Luego,
 .
Para eliminar la indeterminación,
se divide numerador y denominador nuevamente por x y como
|
| 19. Evaluar el siguiente
límite:
|
|
|
| Solución |
El límite es indeterminado
de la forma:  .
Para eliminar la indeterminación,
se multiplica y se divide la expresión inicial por Esto es,
  
en el denominador de la última fracción.
De esta forma:   |
20. Evaluar los siguientes
límites:
a. |
| Solución |
a. Al dividir numerador y
denominador por 
(mayor potencia de x), se obtiene:
b. Nótese que como
la función  |
| 21. Trazar la curva correspondiente
a la función:
|
| Solución | ||
| Determinemos los elementos fundamentales
de la curva como son:
1. Dominio natural de f (x). Los únicos valores de x
para los cuales no existe la función son 2. Interceptos:
ii. Con el eje y (se
hace x = o en (1)): 3. Asíntotas: i. Verticales: son aquellos valores de x que anulen el denominador de (1). En este caso, las rectas verticales x = 2 y x = – 2 son asíntotas verticales de la curva. Además, ii. Horizontales: Como:  ,
se deduce que y = 1 es una asíntota horizontal de
la curva. De otro
lado, como,  ,
se deduce entonces que los valores de la función para valores grandes
de x en valor absoluto, son mayores que 1, indicando con esto que
la curva siempre está por encima de la curva.
En la fig. 3. se indica el intercepto de la curva con el eje y, el comportamiento de la curva cerca de las asíntotas. 4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos. Para ello, se hace el análisis de la primera derivada. Como 
(positivo), el signo de la derivada, solo depende del signo del factor
(–14 x). Asi:
Signo de (–14 x) ó Signo de f ’(x) +++++++++++++++| - - - - - - - - - - - - - - - 0El diagrama indica que: f (x) es creciente en 
f (x) es decreciente enEn consecuencia, x = 0, corresponde a la abscisa de un punto máximo relativo.5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión. Para ello, se hace uso de la segunda derivada. Si Como Signo de (x – 2)3- - - - - - - - - - - - - - - | +++++++++++++++ 2Signo de (x + 2)3- - - - - - -| ++++++++ +++++++++++++++ -2Signo de f ’’(x) +++++++++| - - - - - - - |+++++++++++++++ -2 2El signo de la segunda derivada indica que: f (x) es cóncava hacia
arriba (+) en f (x) es cóncava hacia
abajo (-) en En los puntos x = –2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, indicando con esto que hay "inflexión" pero, no existe punto de inflexión (¿Porqué?). La fig. 4. recoge toda la información obtenida y proporciona una muy buena aproximación a la gráfica de la función dada.
|
22. Trazar la curva correspondiente
a la función:
(1) |
|
|
| Solución | ||||||
| 1. Dominio natural de f(x):
El único valor de x
para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que
anula el denominador). Asi que la función es continua para
todo 2. Interceptos:
3. Asíntotas: i. Verticales: El único valor de x que anula el denominador es x = 1 y esta es la única asíntota vertical de la curva. De otro lado:ii. Horizontales: No tiene (¿Porqué?). iii. Oblicuas: Como el grado del numerador es 3, una unidad mas que el grado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + b. Para determinarla, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y se obtiene: Asi que 
es la asíntota oblicua de la curva.
Para estudiar el comportamiento de
la curva "cerca" de la asíntota se estudia la diferencia: Donde Esto es, Si x <0, entonces, En la figura 5 se ilustra los interceptos de la curva con los ejes coordenados, asi como también el comportamiento de la curva "cerca" de las asíntotas. 4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos. Para ello se hace el análisis del signo de la primera derivada.
El signo de f ’(x) depende
de los signos que poseen los factores (x – 5) y (x – 1)3,
puesto que
f crece en los intervalos f decrece en el intervalo x = 1 corresponde a un máximo relativo. x = 5 corresponde a un mínimo relativo. 5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f’’(x).
fig. 6. |
||||||
23. Trazar la gráfica de la función:
(1), para x en |
|
|
| Solución | |||||
| Como solo interesa la parte de la gráfica correspondiente al
intervalo, solo
se tiene en cuenta para su análisis los siguientes elementos:
1. Continuidad:
2. Interceptos: i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)) y se resuelve para x. Al resolver la última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene por la fórmula general: La ecuación  ,
carece de solución (¿Porqué?).
Si Luego, los interceptos de la curva con el eje x, son los puntos: ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). Así  .
3. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f’(x). El signo de la derivada depende del signo de los factores 
y  en el
intervalo .
es positivo, si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es
decir, 
si  ,
es negativo, si x pertenece al segundo o al tercer cuadrante, es
decir, 
si  .
Ahora, como 
siempre que  ,
se deduce que 
si 
si  .
También, 
siempre que 
ó  ,
así que 
si  .
Al llevar esta información al diagrama adjunto se puede escribir:
El signo de Del diagrama anterior, se puede concluir también que: 4. Intervalos de Concavidad. Puntos de inflexión Para ello se analiza el signo de la segunda derivada: Para hallar los posibles puntos de inflexión, se resuelve la ecuación:  .Es
decir,
Resolviendo esta última ecuación reducible a cuadrática, se obtiene: Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonométricas, se pueden obtener los siguientes valores aproximados de x: Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexión, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada Los valores dados en (1), permiten escribir 
así:
Mediante consideraciones similares a la hechas para  ,
se puede obtener la información que aparece en el diagrama siguiente:
|
|||||
y por lo tanto, aunque el dominio de 
es 
,
el dominio de su derivada es 
. 
,
se tiene que:
existe.
y además f ’(x) existe.
.
(1)
(Porqué?)
(3) (Porqué?)
(4)
(R.D.7 )
; 
; 
y 
?
¿A que es igual?
?
¿A que es igual?
pero no tenemos información acerca de los valores g(3) ni
g
’(3). Asi que no es posible calcular 
en x = 3.
.
y 
.
(¡Verifique!).
ó y’.
(1)
,
de donde, 
(1)
y 
). 
(2)
(3)
Sustituyendo
x
por 1 en la última igualdad, se tiene:
y 
.
Luego, 
,
es la ecuación de la recta tangente.
,
se deduce que 
.
es la ecuación de la recta normal.
(
: pendiente
de la tangente).
se usa derivación implícita en la ecuación: 
(2)
(Velocidad cuando ha transcurrido 1 seg.)
(Velocidad cuando han transcurrido 3 seg.)
seg.
(tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima).
son los únicos puntos críticos.
.
es 
no tiene solución).
y 
,
la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto corresponde a un punto
crítico de f.
es derivable en 
¿Porqué?
tal que:
que es la única solución buscada.
y como 
no se anula para ningún valor real de x, entonces la igualdad: 
no se cumplirá en ningún C en (-2, 2).
es constante. Hállese el valor de dicha constante.
dos
puntos cualquiera del intervalo [a, b] y sea f la función.
,
lo cual obliga a que la función sea constante.
y 
tal que:
y como 
,
se concluye entonces que 
.
(TEOREMA SECCIÓN 9.6.)
.
,
se sigue de la parte a. que 
es una función constante.
.
.
para todo x. (x en el dominio común de la secante
y la tangente).
,
es una identidad trigonométrica conocida.
,
x
<
0 y se puede escribir 
en el numerador.
,
se puede escribir 
y luego, se divide numerador y denominador por x.
es una función par, esto es 
,
significa esto entonces que el comportamiento de f para valores
grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos,
es el mismo. Asi que,
y 
(valores de x que anulan el denominador). De esta forma: 
.
Asi que, la curva corta al eje y en el punto 
.
.
(positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores
del denominador.
,
por ser el cociente de dos polinomios.
.
Luego el punto 
es el intercepto de la curva con el eje x.
.
Luego el punto 
es el intercepto de la curva con el eje y.
,
para un mismo valor de x.
:
la ordenada de la curva y 
:
ordenada de la asíntota.
Si x >0, entonces, 
,
indicando con esto, que para valores grandes de x (positivos), la
curva esta por encima de la asíntota.
,
lo cual indica que para valores grandes de x (negativos), la curva
esta por debajo de la asíntota.
y 
son siempre positivos.
en 
en 
.
corresponde a un punto de inflexión, es decir en 
la curva cambia de concavidad.
,
entonces 
y 
y 
es creciente en los intervalos: 
y, 
y, 
.
corresponde a un máximo relativo, es decir, 
es un punto máximo de la curva
corresponde
a un máximo relativo, es decir, 
es un punto máximo de la curva
corresponde
a un mínimo relativo, es decir, 
es un punto mínimo de la curva
corresponde a un mínimo relativo, es decir, 
es un punto mínimo de la curva
(2)
(3)
y 
indica que:
; 
; 
y 
