Introducción

El propósito en este capítulo, es presentar las diferentes formas de la línea recta.  Antes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano.

Se asume conocidos por parte del lector, los conceptos de plano cartesiano y la localización de puntos en el mismo. 

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4.1. TEOREMA 1 (Distancia Entre Dos Puntos Del Plano)

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por:

(1)



Demostración

En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como también el segmento de recta 

fig 4.1.


Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:

Pero: 

Luego, 



Observaciones:

i.      En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no  negativo

ii.     Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1
       P2 no afecta el valor de la distancia.

iii.    Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x
       (fig.4.2.)  entonces  puesto que y1 = y2

 
fig. 4.2.

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 4.2. (b)), entonces  puesto que x2 = x1

....
4.2. Coordenadas del Punto que Divide a un Segmento en una Razón Dada. Coordenadas Del Punto Medio.

Consideremos el segmento  cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) (fig. 4.3.)

fig. 4.3.


Sea M (x, y) un punto sobre el segmento  y llamemos  (1)

Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de  y de las coordenadas de los puntos P1 y P2.

Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir : 

(2)

Ahora, de (1)  (Observese que cuando M se mueve de P1 a P2 varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1)

En consecuencia,  que al sustituir en (2) resulta: 

De donde,  (3) y  (4)

Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente: 

(5)

(6)

Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.

Observaciones:

 i.     Nótese que para cada valor de  las ecuaciones (5) y (6) nos dan un 
        punto  sobre el segmento P1P2.

 ii.    En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notación de conjunto en la 
       siguiente forma:




 iii.    Nótese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de , entonces 
y en consecuencia,


        Es decir, 

       que representan las coordenadas del punto medio del segmento .

....
4.3. PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Definiciones

  i.     El ángulo  que forma una recta L con el eje x medido en el sentido 
        positivo  del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L 

        (fig. 4.5.).

  ii.   Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define 
       como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir,  (1).

 
Siendo 
        El número m se conoce también con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta L 

Observaciones:

  i.    Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente 
        m = tan =90º no está definida.

 
(a)                                    (b)

fig. 4.4.

   ii.   Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L 
        (fig. 5 (b) ), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:
             (2)

       Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto  
       de  ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas 
       dividido por el incremento de abscisas.

  iii.  El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino 
       tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 
       unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 
       5/100.

  iv.  La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de   
inclinación de la recta, así:

       Si = 0o entonces m= 0 (fig. 4.5. (a))

       Si 0o < < 90o entonces m > 0 (fig. 4.5. (b))

       Si 90º < < 180o entonces m < 0 (fig. 4.5. (c))

 

fig. 4.5.

  v.   El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los 
        puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.

Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.