Se asume conocidos por parte del lector, los conceptos de plano cartesiano y la localización de puntos en el mismo. 

La distancia entre los puntos P₁ y P₂ denotada por d =  esta dada por:

Demostración

En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) asi como también el segmento de recta 

Al trazar por el punto P₁ una paralela al eje x y por P₂ una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P₁RP₂ y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:

Pero:  ;  y 

Luego, 

Observaciones:

i.      En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no  negativo

ii.     Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P₁ y 
       P₂ no afecta el valor de la distancia.

iii.    Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P₁ y P₂ es paralelo al eje x
       (fig.4.2.)  entonces  puesto que y₁ = y₂

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 4.2. (b)), entonces  puesto que x₂ = x₁

Consideremos el segmento  cuyos extremos son los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) (fig. 4.3.)

Sea M (x, y) un punto sobre el segmento  y llamemos  (1)

Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de  y de las coordenadas de los puntos P₁ y P₂.

Al proyectar los puntos P₁, P₂ y M sobre los ejes coordenados, resultan los triángulos rectángulos semejantes P₂MH y P₁MQ. Entonces podemos escribir : 

(2)

Ahora, de (1)  (Observese que cuando M se mueve de P₁ a P₂,  varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1)

En consecuencia,  que al sustituir en (2) resulta: 

De donde,  (3) y  (4)

Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente: 

(5)

(6)

Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.

Observaciones:

 i.     Nótese que para cada valor de  las ecuaciones (5) y (6) nos dan un 
        punto  sobre el segmento P₁P₂.

 ii.    En muchas ocasiones, el segmento P₁P₂ se expresa en notación de conjunto en la 
       siguiente forma:

 iii.    Nótese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de , entonces 
y en consecuencia,

e 

        Es decir,  e 

       que representan las coordenadas del punto medio del segmento .

  i.     El ángulo  que forma una recta L con el eje x medido en el sentido 
        positivo  del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L 
        (fig. 4.5.).

  ii.   Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define 
       como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir,  (1).

 
Siendo 

        El número m se conoce también con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta L 

Observaciones:

  i.    Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente 
        m = tan =90º no está definida.

 

(a)                                    (b)

fig. 4.4.

   ii.   Si P₁(x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L 
        (fig. 5 (b) ), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:
             (2)

       Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto  
       de  ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas 
       dividido por el incremento de abscisas.

  iii.  El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino 
       tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 
       unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 
       5/100.

  iv.  La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de   
inclinación de la recta, así:
       Si = 0^o entonces m= 0 (fig. 4.5. (a))

       Si 0^o < < 90^o entonces m > 0 (fig. 4.5. (b))

       Si 90^º < < 180^o entonces m < 0 (fig. 4.5. (c))

 

fig. 4.5.

  v.   El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los 
        puntos P₁ y P₂ escogidos sobre ellas.

Dados 3 puntos P₁, P₂ y P₃ del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P₁ y P₂ es igual a la determinada por P₂ y P₃.