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6.3 LA HIPERBOLA

Definiciones 

i.  Sean F y F dos puntos de un plano (F F). Se define la hipérbola de focos F y F como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0).  

ii.  Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento FF se llaman: Ejes de simetría de la hipérbola. 

iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A se llaman: VERTICES de la hipérbola.  

 
 
fig. 6.3.1.

Observaciones: 

i.  Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.). 

ii.  Si se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que si  se obtiene la otra rama. 
 

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma  
 

6.3.1. Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola 

caso 1. Hipérbola con focos F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. 

TEOREMA: 

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por: 

(1).

Demostración: 

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que: 
 
 

ó 

De donde, 

ó 

Es decir,  

Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir: 


Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:


Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando además que  (observación iii.) y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente, que corresponde a la ecuación pedida.
 
 

Caso 2. Hipérbola con focos en F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. 

TEOREMA: 

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(0, -c) y F(0, c) viene dada por:  

(1).
 
 
fig. 6.3.2.

La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.  

Caso 3. (Caso General) 

 Si en vez de  considerar el  centro de la  hipérbola  en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en:  
 
 

(3)  
 
(4)


Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.  

Observaciones: 

i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hipérbola centrada en el origen  y  focos en  los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P  y  Q  tienen  coordenadas:
M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b). 
 

  El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola 
 
 

fig. 6.3.3.

ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al eje y.  

iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas 
    oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por: 
 
 

Una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero).  

Así, en el caso particular de la hipérbola,

Hacemos: (factorizando)
 

Estas son las ecuaciones de las asíntotas 

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hipérbola se transforman en:


En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola Equilátera y tienen como asíntotas las rectas 
y = x e y = -x