6.2 LA ELIPSE

Definiciones: 

i. Sean F y F dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0). 

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento  se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE. 

iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A, A, B y B se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.  

Si el segmento  es mayor que el segmento  , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse. 
 
 

fig. 6.2.1.

Observaciones: 

i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.). 

ii. Nótese también que como , se sigue que (teorema de Pitágoras). 
 
 

   fig. 6.2.2.

6.2.1. Ecuaciones Analíticas de la Elipse 
 

Caso 1. Elipses con focos. F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0 

Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) 
Eje menor: Longitud 2b (2b > 0) 
 

 TEOREMA: 

La ecuación de la elipse con focos en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: 
(1) 
 
 

                                       fig. 6.2.3.                                                     fig. 6.2.4. 

Demostración 

Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definición i que , o equivalentemente,(fórmula de distancia entre dos puntos) 

Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:  

Simplificando la última igualdad se llega a: 

 

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene: 

 

La cual se reduce a: 

 

Recordando además que  y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente :  que corresponde a la ecuación pedida. 
 
 

Caso 2. Elipses con focos F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 
Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) 
Eje menor: Longitud 2b (b > 0) 
 

TEOREMA: 

La ecuación de la elipse con focos en los puntos F(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:  

(2) 

Demostración: 

Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. 

NOTA: 

Nótese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio a. 

 Caso 3. (Caso General). 

 Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los  dos  casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en: 

(3) 

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) 
Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h) 
 
 
 

fig. 6.2.5.
                     (a)   (x-h)2 + (y-k)2                                                                 (b) (x-h)2 + (y-k)2 
                              a2            b2                                                                                    b2            a2 

 Observaciones: 

i. La ecuación (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados. 

ii. Si a > b, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (fig. 6.2.5. a). 

Si b > a, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (fig. 6.2.5. b). 
 

6.2.2. Construcción de la Elipse  

Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse. 
 

Construcción 1 

Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida. (fig. 6.2.6.) 
 
 

fig. 6.2.6.

Construcción 2 

Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por , con a > b. 

Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados círculos directores, que son círculos concéntricos , con centro en 0, uno de radio   y el otro de radio  . (Ver fig. 6.2.7.) 
 
 

fig. 6.2.7.

Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym). 

Se puede afirmar que el punto M está en la elipse de ecuación . 

En efecto, basta demostrar que . 

Para ello, nótese que: 
 

 

Sumando miembro a miembro las últimas igualdades, se concluye que