9.9.1. Interpretación Geométrica De La Derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación. 

Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.). 

fig. 9.5.

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P

La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por  viene dada por: 


fig. 9.6.

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente  viene dada por: 

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es: 

(Punto Pendiente

En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de la derivada. 


9.9.2. Interpretación Física De La Derivada

Velocidad promedia y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. 

Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. 

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea

Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por: 

: S en pies t en segundos 

Asi, en el primer segundo, cae 16 pies. 

en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies. 

En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 16) pies. 

Asi que su velocidad promedio será: 

En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 16) pies. 

Su velocidad promedio será de: 

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 16) pies y (16(1.01)2 16) pies. 

Sus velocidades promedio serán respectivamente: 

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t = 1 seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg.

Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg. 

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea. 

Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t)

En el instante t = c, el objeto está en f (c)

En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig. 9.7.) 

Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es: 

Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi: 


fig. 9.7.

En el ejercicio 11 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación física de la derivada. 


9.9.3. Trazado De Curvas
Valores máximos y mínimos de una función de variable real.

Se ha visto en la sección 9.9.2. que la existencia de la derivada de una función en un punto c, significa geométricamente que la curva y = f(x) tiene una recta tangente en el punto  y además . Este hecho, permite determinar entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación: 

Una mirada atenta a la fig. 9.8., permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte como son los siguientes. 

es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que  es un máximo relativo de f (x)

Nótese además, que en el punto , la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, 

Igualmente,  es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Asi que  es otro máximo relativo de f (x).



fig. 9.8.

Sin embargo, en el punto , la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. 

es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces que  es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto 

Si se comparan ahora, todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo
[a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que  es el mayor valor. f (a) se llaman respectivamente el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b].

Los conceptos antes mencionados, serán presentados aquí en forma rigurosa, asi como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final, se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.

Definiciones:

Sea f una función de variable real y sea c Î Df (Dominio de f).
Entonces: 


f(c) es un VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que:
para todo x Î I

f(c) es un VALOR MÍNIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que:
para todo x Î I
f(c) es un VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, si:
para todo x Î I
f(c) es un VALOR MÍNIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, si:
para todo x Î I

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama: EXTREMOS RELATIVOS. 

A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama: EXTREMOS ABSOLUTOS. 

Observaciones:

Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo como sucede por ejemplo con  en la fig. 9.8. 

El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final de la sección, garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo. (Ver el ejercicio de 12 la sección 9.10). 

Extremos relativos

El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable. 

TEOREMA 1. (CONDICIÓN NECESARIA PARA EXTREMOS RELATIVOS) 

(f tiene extremo relativo en c

Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual  existe. Entonces, 


Demostración:

Caso 1. Si f es la función constante, el teorema es evidente. 

Caso 2. Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c

Como  existe, entonces de acuerdo a la observación hecha a la definición 9.2, 

existe y además, 

(1) 

Siendo  un máximo relativo, existe un intervalo  que contiene al punto c y tal que: 

si , entonces, 

Asi que:  (Ejercicio 5, sección 8.5.1.

(2) 

Igualmente, 

si , entonces, 

Asi que:  (Ejercicio 5, sección 8.5.1.

(3) 

De (2) y (3) se concluye que 

Caso 3. Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. (Ejercicio para el lector). 

Observaciones:
El teorema anterior, significa geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c, y  existe, entonces, la recta tangente a la curva en el punto  es horizontal (fig. 9.9. (a)) 

a
                                        b                                          c 
fig. 9.9.


El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplir que  para algún punto c de su dominio, y sin embargo, f no presentar extremos relativos en c; como sucede por ejemplo, con la función  (fig. 9.9. (b)).

Note que  pero, la función no presenta ni máximos ni mínimos relativos en el origen; puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derecha es positiva. 

Mas aún, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser derivable alli, como sucede por ejemplo con la función , (fig. 9.9.(c)) que tiene un mínimo relativo en x = 0, pero  no existe (observación i. de la sección 9.3.). 

Definición:

Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c Î I se llama punto crítico de f si  ó  no existe. 

Asi por ejemplo, para la función: 

, se tiene: 

Los puntos críticos de f son entonces x = 0 y x = 1/6 (Porqué?).