Extremos Absolutos
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función, aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están mas allá del alcance de estas notas. 

TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS)

Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). 

El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple. 

Observación:

El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero, no dice como determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. 

Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: 

1. Se determinan los puntos críticos c1, c2, c3, ...,cn (resolviendo , o donde  no existe). 

2. Se calcula 

3. Máximo absoluto de f = máx { }

   Mínimo absoluto de f = mín { }

En los ejercicios 12, 13 y 14 de la sección 9.10. se ilustra como determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.


Criterio De La Primera Derivada
La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva. 

fig. 9.10.

Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la fig. 9.10. se puede notar que: 

1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, ó, en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo [a, b], y entre b y c la curva es descendente, en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. 

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal. 

3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo tanto, la primera derivada es negativa. 

Estas ideas que se acaban de comentar, están justificadas por medio de las definiciones y teoremas dados a continuación. En primer lugar, se presentan dos teoremas: El Teorema de Rolle y su generalización conocido como el Teorema del Valor Medio (T.V.M.) que tienen gran importancia teórica y práctica. 


Teorema De Rolle Y Teorema Del Valor Medio
En la fig. 9.11. se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b],  y además  existe (no tiene picos) en todos los puntos del intervalo
(a, b). 

fig. 9.11.

Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva de abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela el eje x). 

Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se enuncia sin demostración. 

TEOREMA 3 (TEOREMA DE ROLLE)

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: 

i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. 

ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b). 

iii..

Entonces, existe por lo menos un punto  c Î (a,b). tal que: 

El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas. 

TEOREMA 4 (T.V.M.)

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: 

i.  f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. 

ii.f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe por lo menos un punto c Î (a,b). tal que:

Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico. 

En la fig. 9.12. se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del T.V.M. 

fig. 9.12.

El término  es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c,c Î (a,b). tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es, es paralela a la recta secante 

Demostración:

Usando la forma: dos puntos de la ecuación de la recta (sección 4.4.4.), se deduce para la recta secante, la ecuación: 



De donde, 

Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto (x, f(x)) sobre la curva y el correspondiente (x, y) sobre la secante . (segmento d. de la fig. 9.12.) . 

Asi que: 



Esto es,  (1) 

La función F (x) asi definida satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo
[a, b]. En efecto: 

i.   F (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b]. (porqué?) 

ii. F (x) es derivable en el intervalo abierto (a, b). (porqué?) 

Además, (2)

iii. Finalmente, 

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle, existe por lo menos un punto c Î (a, b) tal que

Pero, de acuerdo a (2) 

Luego,  eso implica,que era lo que se quería demostrar. 

Como aplicación inmediata del T.V.M., se prueba otro teorema que permite determinar los intervalos donde crece y decrece una curva conociendo el signo de su primera derivada. 

TEOREMA 5 (CRITERIO PARA CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO)

Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b).

  1. Si para todo entonces f es creciente en [a, b].
  2. Si para todo entonces f es decreciente en [a, b].

Demostración:

  1. Sean dos puntos de [a, b] tales que .
  2. Evidentemente, f es continua en , f es derivable en , luego por el T.V.M., existe por lo menos un punto tal que:

    (1)

    De , se deduce que y como por hipótesis , se deduce de (1) que:

    Luego, y f es creciente en [a, b].

  3. Se demuestra de manera similar.

Observación:

El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera derivada. Asi:

Donde (derivada positiva), f(x) es creciente.

(derivada negativa), f(x) es decreciente.

El siguiente teorema, permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

TEOREMA 6 (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS)

Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a < c < b y c un punto crítico de f (f (c) = 0 o f ( c) no existe).

Entonces:

  1. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un máximo relativo. (fig. 9.13. (a), fig. 9.13. (b)).
  2. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mínimo relativo. (fig. 9.13. (d), fig. 9.13. (e)).
  3. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. 9.13. (c)).
  4. Si para todo x en (a, c) y
para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. 9.13. (f)).

      d                                                       c

                   e                                                         f
  fig. 9.13.

Demostración:


  1. Si f (x) > 0 en (a, c), se tiene por el Teorema 5 que f es creciente, luego para todo x tal que
    a < x < c, se tiene: f(x) < f(c) (1)
  2. Ahora, como f (x) < 0 en (c, b), entonces f es decreciente (Teorema 5) y de esta forma, para todo x tal que c < x < b, se cumple:

    f (c) > f (x) (2)

    De (1) y (2) se concluye que f (c) es un máximo relativo.

  3. Similar a la parte i.
  4. Si f (x) > 0 en (a, c) y f (x) > 0 en (c, b), entonces por el Teorema 5 se tiene que
    f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b); de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.
  5. Similar a la parte iii.

Observación:


En el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema 6, se expresan respectivamente, en la siguiente forma:

Si la derivada pasa de positiva a negativa, entonces, el punto crítico corresponde a un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el punto crítico corresponde a un mínimo relativo.

En los ejercicios resueltos 21, 22 y 23 de la sección 9.10. se ilustra como determinar para la gráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, así como también los extremos relativos.

Para ello se explica el método gráfico que es mucho mas expedito que el método analítico.


Concavidad Y Puntos De Inflexión De Una Curva.
Asi como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. 

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. 

Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. 9.14. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos. 

fig. 9.14.

Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1

Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. 

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: 

Definiciones:

Sea f una función derivable en un punto c.

  1. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), se cumple que:
  2. (fig. 9.15. (a))

    yc : y de la curva ; yt: y de la tangente


    fig. 9.15.

  3. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b),
se cumple que:

(fig. 9.15. (b))

iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I

iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos: (a, c) y (c, b). 

Se usará el símbolo: , para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. 

Igualmente, se emplea el símbolo , para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa. 

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo. 

TEOREMA 7 (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD)

Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: 

  1. Si para todo x I, entonces, f es cóncava hacia arriba en I.
  2. Si para todo x I, entonces, f es cóncava hacia abajo en I.

Observación:

En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que "hay inflexión" sin existir punto de inflexión. La gráfica de la fig. 9.16., indica esta posibilidad. Alli se muestra inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada. 

fig. 9.16.

Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. 

Como es de suponer, los puntos para los cuales f (x) = 0 o f (x) no existe, son "candidatos" viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que f (c) = 0 y sin embargo, el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. 

Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la fig. 9.17. 



fig. 9.17.

Como f (x) = x4, f (x) = 4x3, f (x) =12 x

Para c = 0, se tiene:  sin embargo el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, y no cambia la concavidad de la curva.