8.4.1. Ejercicios Resueltos Sobre Límites de Funciones:
1. Usando la definición rigurosa del limite de una función , pruebe que:

Solución
Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:

(1)

Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(V.A.5)

(factorizando)

(2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger. (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para e.) Prueba formal.

Dado, existe
,tal que,


En particular, si A escoge un, en este ejemplo, entonces B responderá con un.
Si A propone, B escogerá (cualquier valor menor también satisface).

Al graficar la recta (fig. 8.9.), se nota que para obligar a (9 – 3x) estar cerca de –6, se debe obligar a x que este cerca de 5.

fig. 8.9.
 
2. Usando la definición del límite de una función, demostrar que:

Solución
Análisis preliminar.

Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:

Si, entonces (1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).

(factorizando)

(simplificando, puesto que x – 1 ¹ 0)

(2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger (cualquier valor menor funciona). Prueba formal.

Dado,
existe,
tal que,



En particular, si en este ejemplo, A escoge un, entonces B responderá con un. Si A propone, B escogerá (cualquier valor menor también cumple). La gráfica de la función es la misma que corresponde a la recta de ecuación
, con x ¹ 1.

En la fig. 8.10., aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es, entonces, el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es.

fig. 8.10.
 
3. Considere la función definida porcon n Î N . Evaluar el siguiente límite:

Solucion
(1)
Si evaluamos directamente, el último límite se tendría (indeterminado).

Se puede eliminar la indeterminación, factorizando el numerador de la fracción (1). Asi:

 
4. Evaluar el siguiente límite:

Solución
Si se aplica directamente el límite de un cociente, se llega a la forma indeterminada. Se puede eliminar la indeterminación, racionalizando el denominador y simplificando. Asi:

 
5. Evaluar el siguiente límite:

Solución
Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada. Para tratar de eliminar la indeterminación, se multiplica numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador. Asi:


Al sustituir nuevamente x por 4, en la última expresión, continua la indeterminación. Para eliminarla, se multiplica numerador y denominador de la última fracción por.

Luego,

 
6. a. Usar el teorema del "sánduche" para demostrar que si t está expresado en radianes, entonces:
b. Demostrar que:

Solucion

a. Considere el círculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura 8.11. y en el cual se han trazado: El sector circular OBC, el triángulo rectángulo OBP y el sector circular OAP. 
fig. 8.11.
 

Nótese en primer lugar que: (si t < 0, los elementos mencionados inicialmente son los reflejados con respecto al eje x). Conforme al punto P se mueve hacia el punto A, y por lo tanto,

y (1)


Claramente, de la gráfica se deduce:

Area sector OBC < Área triángulo OBP < Área sector OAP. (2)
Pero, Área sector OBC(ángulo central)



(3)
Área triángulo OBP (4)
Área del sector OAP(ángulo central) (5)

Sustituyendo (3), (4) y (5) en (2), se obtiene:

Después de multiplicar por 2 y dividir entre el número positivo y observando además que, la última desigualdad puede escribirse asi:
(6)
Pero y, luego por el teorema del sánduche, se concluye que:
.


b., tiene la forma indeterminada.
Para eliminar la indeterminación, multipliquemos numerador y denominador por la cantidad positiva:
.

Esto es,








7. Use el ejercicio 6, para evaluar los siguientes límites trigonométricos.
a.,siendo constantes reales,.
b.
c.
d.

Solucion
a. Antes de evaluar el límite, el cociente puede transformarse asi:

De esta forma:

(Algebra de límites)

Ahora, decir que

.

Por tanto,

También,

Luego,
b. El límite es indeterminado de la forma
.

Pero,


Luego,

c. Antes de evaluar el límite, se simplifica la fracción

Esto es,

(factorizando)

Asi que:

Pero,

Luego,

d.Nótese que al sustituir directamente x por a, resulta la indeterminación
.

Para eliminar la indeterminación, se hace un cambio de variable y luego se simplifica la fracción resultante. 
Esto es, sea

También,


(factorizando)

Luego,


8. Encuentre el valor del siguiente límite o establezca que no existe:

Solucion
De acuerdo a la definición de valor absoluto, se tiene que:

De esta forma:

La función:, puede escribirse entonces como una función a tramos, asi:

Su gráfica aparece en la fig. 8.12.

fig. 8.12.

Ahora,
NO EXISTE



9. Considere la función a tramos definida por:


Encuentre el valor de las constantes a y b para que:
y existan.


Solucion
El siguiente diagrama recoge la información obtenida de f.


existe y existen

y además:


Pero, (1)
(2)

De (1) y (2) se sigue que (3)

Igualmente,

existe yexisten y además:

Pero, (4)

(5)

De (4) y (5) se sigue que (6)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene:
y .

Con estos valores obtenidos, la función f se transforma en:

La gráfica de f aparece en la fig. 8.13.

 
fig. 8.13.