| Definición | |||||
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Observaciones:
La figura 8.1. ilustra gráficamente el significado
de e y d en esta última implicación. Obsérvese que
para aquellos x que pertenecen al intervalo:
ii. El límite de una función no depende del valor de la función en el punto, aunque algunas veces coincide, sino, del valor de la función en las "cercanías" del punto. Asi por ejemplo, considérese la función f definida por:
Vimos en la sección 8.1. que, Nótese que De esta forma la función f(x) después de simplificarla se puede escribir asi:
Su gráfica aparece en la figura 8.2. Nótese
que los valores de f(x) están cerca de 3, cuando los valores
de x están próximos a 1.
iii. La definición de límite no establece la manera de determinar el d para un e dado. En las demostraciones sobre límites, el procedimiento está orientado a dejar en claro como se puede determinar dicho d . Algunas veces, como en los ejercicios 1 y 2 de la sección 8.4., se puede establecer una relación entre d y e que satisface la definición y esto es suficiente para dar por terminada la demostración. 8.2.1. Teoremas Sobre Límites Los siguientes teoremas, que se
enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades
de los límites de funciones y son al mismo tiempo útiles
herramientas que permiten determinar, en muchos casos, el límite
de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición.
TEOREMA 1. (Unicidad del Límite)
Si En palabras: Si una función tiene límite
en un punto a, dicho límite es único.
TEOREMA 2. (Algebra de Límites)
Sea n un entero positivo, k una constante
real y f y g funciones tales que 2. 3. 4. C.L.1. Si C.L.2. C.L.3. Si n es un entero positivo, C.L.4. Como caso particular del límite de
un cociente, se tiene: En general, si n es un entero positivo y C.L.5. (Límite de la función polinómica).
C.L.6. (Límite de una función racional)
Si m y n son enteros positivos, siempre que: TEOREMA 3. (Límite de funciones iguales);
Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas
en un intervalo I que contiene al punto a y tales que:
1. 2. Entonces, Asi, por ejemplo, las funciones:
Pero, Observación:
Si en el ejemplo anterior, evaluáramos directamente, El cociente Efectuar el proceso algebráico y simplificar,
se conoce en el lenguaje del cálculo como: "Eliminar la indeterminación".
Asi, = En los ejercicios resueltos 3, 4, 5, 6 y
7 de la sección 8.4. se ilustra nuevamente este procedimiento.
TEOREMA 4. (Teorema del Sánduche)
Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones
definidas en un intervalo I, excepto posiblemente en el punto 1. 2. Entonces,
8.2.2. Límites Laterales Considere la función f, definida por:
Se desea conocer el valor de los siguientes límites:
 b.  c.  d.  e.  a. Nótese que en las "cercanías"
de
b. Igualmente, en las "cercanías" de
c. También en las "cercanías" de
Ahora, nótese en la fig. 8.5. que para los
valores de x anteriores al ¿Cuál es entonces la f(x) apropiada para sustituir en la parte d.? En situaciones como esta, es útil y natural introducir los llamados Límites laterales. El símbolo: El símbolo: En el caso particular que interesa, se tiene:
Igualmente, en el caso e. ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir,
Asi que:
En general, denotamos por:
Esto es por valores de x > a.
Esto es por valores de x < a. Lo anterior, nos permite dar una definición informal de los límites laterales. Definiciones.
Decir que Decir que El siguiente teorema establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales. TEOREMA.
Observaciones:
 no
existe, si y solo si, no existe alguno de los límites laterales,
o, si existen, son diferentes.
ii. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar
la existencia o no del límite de una función, en particular
para la función inicial de estudio en esta sección, se deduce
de (1) y (2) que: |
,
si y solamente si, para cada 
,
existe un 
, tal
que para todo 
,
si 
entonces, 
(1).
,
los correspondientes f(x) pertenecen al intervalo: 
,
sin embargo, f(1) = 5.
,
si 
y 
, entonces 
.
y 
existen. Entonces:
(El límite de una constante es la constante)
(Límite de la función identidad)
(Toda constante puede salir del límite)
El límite de una suma de funciones es la suma de los límites.
El límite de la diferencia de funciones es la diferencia de los límites.
El límite de un producto es el producto de los límites.
siempre que 
El
límite de un cociente es el cociente de los límites.
,
existen, entonces:
si 
.
.
Entonces:
para todo 
, excepto
posiblemente en a.
existe y es L.
y 
, son iguales
en todos los puntos del eje real, excepto en el punto 
.
(Ver fig. 8.3.)
.
Asi que de acuerdo al teorema 3, 
.
se
tendría:
no es un número real, se conoce en el cálculo como una forma
indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto
del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebráicas,
se puede transformar la función en una función equivalente
que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 3, coincide con
el límite de f (x).
(factorizando)
(simplificación)
y, tales que:
para todo 
.
.
Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece
en la figura 8.4., será de gran utilidad para demostrar que: 
,
igualmente, se usa en el cálculo integral para calcular áreas
bajo curvas, usando las llamadas: sumas aproximantes.
y cuya gráfica aparece en la figura 8.5.
la función
f(x) es:
.
Asi que:
la función f(x) es: 
.
De esta forma:
la función f(x) es: 
.
Por lo tanto,
viene
dada por: 
. Mientras
que para los valores de x próximos a 1 pero posteriores 
viene
dado por: 
significa que: x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores
menores que 1).
significa que: x se aproxima a 1 por la derecha (por valores
mayores que 1).
(1)
(2)
si 
y 
si 
.
(3)
(4)
para expresar que: x se aproxima al valor a por la derecha.
para expresar que: x se aproxima al valor a por la izquierda.
,
significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a,
entonces f(x) está cerca de L.
,
significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de
a, entonces f(x) está cerca de L.
es diferente a decir que 
.
existe y 
, puesto
que 
. De igual
forma, de (3) y (4) se deduce que: 
no existe, ya que 