y = f(x) = x³ – 1 (1)

y cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene:

(2)

Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de ), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f.

Asi por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso, y = 2³ – 1 = 7.

La segunda ecuación, efectúa la operación inversa, esto es al valor y = 7, le asigna el valor de .

Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente, se intercambia x con y en la ecuación (2) y asi se obtiene: (3).

La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por f ^-1 se conoce como la INVERSA DE LA FUNCIÓN f definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la INVERSA DE LA FUNCIÓN f ^-1 definida por (2).

Es decir,

Las gráficas de f(x) y de f ^–1(x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen el la fig. 15.

fig. 15.

Considere ahora la función y = f(x) = x² + 1 cuya gráfica se muestra en la fig. 14 (a).

El dominio de f lo constituye el conjunto de los números reales y el rango es el intervalo [1, +a ).

Al despejar x, se obtiene: .

Esta última ecuación, dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no define una función.

En este caso se dice que la función y = f(x) = x² + 1 no tiene inversa o que f ^–1 no existe.

De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1.

Definición.

Sea una función 1-1.

La inversa de f, denotada f ^–1, es la función:

tal que: f ^–1 ( f (x) ) = x para cada xA (Dominio de f)

f ( f ^-1 (x) ) = x para cada xB (Dominio de f ^-1)

Nótese que D(f) = r(f ^-1) r(f) = D(f ^-1)

Se debe tener cuidado con el (-1) usado en f ^-1. El (-1) no es un exponente, es simplemente un símbolo para denotar la inversa.

Como ejemplo ilustrativo, considere nuevamente la función definida por la ecuación: y = f(x) = x³ – 1. se tiene:

f y f ^–1 son inversas una de la otra. Además,

, x i D(f) =

, x i D(f ^-1) =

Como se mencionó antes, la función f: [1, +¥ )

x f(x) = x² + 1

no tiene inversa (pues f no es 1 – 1).

Sin embargo, dicha función genera dos funciones:

y

que son 1 – 1 en sus respectivos dominios (fig. 16.) y en consecuencia tienen inversa.

fig. 16.

Para la función f se tiene:

Las gráficas de f y f ^-1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la fig. 17.

fig. 17.

Igualmente, para la función g se tiene:

Las gráficas de g y g ^-1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la fig. 18.

fig. 18.

Además,

(Propiedad V.A.6)

(Definición de )

Es decir,

para cada .

Igualmente,

Es decir, para cada .

Se deja para el lector el hacer las mismas consideraciones para la función g y su inversa g ^-1.

Observación.

Nótese en las figuras 17 y 18 que las gráficas de f y f ^-1 (g y g ^-1) son simétricas con respecto a la recta y = x.