7.4. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES.


7.4.1. FUNCIONES MONÓTONAS.

Definiciones:

Sea f(x) una función definida en [a, b].

i. f es creciente en [a, b] si y solo si se cumple que: . .
ii. f es decreciente en [a, b] si y solo si se cumple que: . .
iii. f es monótona en [a, b] si y solo si f es creciente ó decreciente en [a, b].

Las gráficas siguientes ilustran las definiciones anteriores.

Función Creciente Fucnción Decreciente No es ni creciente ni decreciente
 
7.4.2. FUNCIONES INYECTIVAS.

Definición:

Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

.

o equivalentemente,

. .

En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de mas de una x en el dominio.

Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como:

Criterio de la recta horizontal.

Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es 1-1

Asi por ejemplo, en la fig. 14. (a), aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1 la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1.

Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: P1(-1, 2) y P2(1, 2).

(a)

fig. 14

(b)

Igualmente, en la fig. 14. (b), aparece la gráfica de la función y = x3 – 1, la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1.

Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.

Si se analiza un poco mas la gráfica de la función en la fig. 14. (b), se nota además que f es una función creciente en su dominio como toda función creciente (o decreciente) siempre tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x, se sigue entonces que toda función creciente (decreciente) en su dominio es 1-1.