7.2 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES.
A continuación se describen algunas funciones especiales y los nombres con que se les conoce en el lenguaje matemático, además se muestra una gráfica aproximada de cada una de ellas.


7.2.1. Hasta ahora, en el desarrollo de los temas anteriores, se han descrito y analizado las siguientes funciones:
i. Función exponencial de base a: (sección 2.1.)

f :

ii. Función logarítmica de base a: (sección 2.2.)

f :

iii. Función lineal: (sección 4.4.2.)

f :

que corresponde a la linea recta de pendiente m, e intercepto b con el eje y.
iv. Función cuadrática: (sección 6.1.3.)

f :

, donde a, b, c y que corresponde a una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a.

En la fig. 2, aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2 (fig. 2(c))

grafica3 (2720 bytes)

fig. 2
v. Ramas de Circunferencia: (sección 5.1.)

La ecuación en forma implícita x2 + y2 = r2, que corresponde a una circunferencia centrada en el origen y radio r, y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), genera, sin embargo dos funciones, llamadas ramas de circunferencia y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

Rama Superior de la Circunferencia.

  Rama Inferior de la Circunferencia.
vi. Ramas de Elipse: (sección 6.2.1.)

La ecuación en forma implícita con a, b, y, a > b corresponde a una elipse centrada en el origen y eje mayor 2a y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), genera dos funciones, llamadas: ramas de elipse y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

grafica6 (2183 bytes)
Rama Superior de la Elipse.

Rama Inferior de la Elipse.
vii. Ramas de Parábola: (sección 6.1.1.)

La ecuación en forma implícita y2 = x, corresponde a una parábola abierta hacia el eje x positivo y cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V(0, 0) y F(1/4, 0). Su gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), sin embargo, genera dos funciones llamadas: ramas de parábola cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

y2 = x

Rama Superior de la Parábola.

 

Rama Inferior de la Parábola.
viii. La ecuación en forma implícita x . y = 1, corresponde a una curva llamada: hipérbola equilátera y genera la función: f : -{0}

cuya gráfica aparece en la figura adjunta.

grafica10 (1491 bytes)


7.2.2 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO n.
f :

donde a0, a1, a2,...,an son números reales.

CASOS PARTICULARES
i. La función definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante) se llama: función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x (fig.3) según el signo de a0.
grafica11 (1906 bytes)

fig. 3
ii. La función definida por: y = f(x) = a0 + a1x, se llama: función lineal (ver 7.2.1. (iii)).
iii. La función definida por: y = f(x) = x, se llama: función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x (fig.4).
grafica12 (2179 bytes)

fig. 4
iv. La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2, se llama: función cuadrática (ver sección 7.2.1. (iv)).
v. La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la fig. 5.
grafica13 (1532 bytes)

fig. 5.


7.2.3. FUNCIÓN MAYOR ENTERO MENOR O IGUAL A x.
f : Z

donde n es un número entero tal que .

La expresión se lee: "mayor entero que no supera a x".

Asi, para

También,

La gráfica de la función se muestra en la fig. 6. y está constituida por una serie de segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.

grafica14 (1759 bytes)

fig. 6.


7.2.4. FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS.
f :A

donde (dominio de f).


CASOS PARTICULARES
i. Función Valor Absoluto:

f :

La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares
y = x e y = -x. (Ver fig. 7) .

grafica15 (1557 bytes)

fig. 7
ii. Función Signo:

f : Z

Su gráfica se muestra en la fig. 8. y está constituida por el origen de coordenadas y dos semirectas a las cuales les falta el punto inicial.

grafica16 (1512 bytes)

fig. 8

Note que el dominio es el conjunto , mientras que el rango es el conjunto {-1, 0, 1}.


7.2.5 FUNCIÓN RACIONAL
f :

donde Pn(x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m respectivamente.

Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por :

Df = {x / Qm(x) ¹ 0} = - {x / Qm(x) = 0}.

Es decir, el Dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores que anulan el denominador.

Para la gráfica de una función racional se precisa conocer otros conceptos (asíntotas, máx., mín., concavidad, puntos de inflexión) que mas adelante se discutirán.


7.2.6 FUNCIONES: ALGEBRÁICAS Y TRASCENDENTES
Una función algebráica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebráicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raices.

Un ejemplo de una función algebráica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

.

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:


7.2.7. FUNCIONES PARES E IMPARES
DEFINICIONES:
i. Una función f es PAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = f(+x).
ii. Una función f es IMPAR, si los números x y -x están en su dominio y además:
f(-x) = -f(x).

OBSERVACIONES
i. Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. (Ver fig. 9.).

grafica17 (1972 bytes)

fig. 9.

También, es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares (x0, x2, x4, ...) de la variable x es PAR.

Asi, la función es PAR.
ii. Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. (Ver fig. 10).
grafica18 (1977 bytes)

fig. 10.

7.2.8. FUNCIONES PERIODICAS
Definición.

Una función es PERIODICA con período P ¹ 0, si su dominio contiene al número (x + P) siempre que contenga a x y si además:

f(x + P) = f(x) para todo xD(f).

El mínimo número positivo P con esta propiedad se denomina: PERIODO PRIMITIVO DE f.

La definición anterior significa geométricamente, que para cualquier aD(f), la gráfica entre a y (a + P) es exactamente igual a la gráfica entre (a + P) y (a + 2P) y asi sucesivamente (fig. 11).

grafica19 (2344 bytes)

fig. 11.

Son ejemplos de funciones periódicas:

1. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante, tienen periodo
P = 2p , mientras que las funciones tangente y cotangente tienen periodo P = p .

En efecto,

Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2p ) = Sen (x + 2p ) = Sen x = f(x).

Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2p ) = Cos (x + 2p ) = Cos x = g(x).

Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + p ) = Tan (x + p ) = Tan x = h(x).

En la fig. 12. aparecen las gráficas de las funciones trigonométricas en las cuales se indica el período correspondiente.

grafica20 (2321 bytes)
 
grafica21 (2337 bytes)
 
grafica22 (3557 bytes)

fig. 12.
2. La función constante (sección 7.2.2.) f(x) = k es una función periódica, puesto que para cualquier número P, f(x + P) = k = f(x).

Nótese , sin embargo, que esta función carece de periodo primitivo.