6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola

1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F(-5, 0), V1(4, 0) y
V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas. 
 
 

SOLUCIÓN

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: 
fig. 6.5.13. 

En este caso: a = 4; c = 5, de donde  (Ver fig. 6.5.13.)  En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: 

Ahora,   

      
      
Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,  
 
2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. 

SOLUCIÓN

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes: 

  

  

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y 
(fig. 6.5.14.)  

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, 

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3). 

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: 

..
3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. 

SOLUCIÓN
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.). 

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma: 

Las coordenadas de los focos son:  y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son:  y y = 3. Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3). 

Además, de la ecuación: , se deduce que: ; y 

son las ecuaciones de las asíntotas. 
 

 
4.  Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 x2 + 4x 6y 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y     ecuaciones de las asíntotas. 

SOLUCIÓN
La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:





Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.) 

    fig. 6.5.16.
Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: 

Las coordenadas de los focos son: x = 2 . Esto es F(2, 5) y F(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1)

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, 



5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos señales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una pequeña diferencia de tiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también será constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguirá la trayectoria de una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio. 

fig. 6.5.17.

Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperbólica diferente, cada una llevando al barco a una posición distinta en la costa. Las cartas de navegación muestran las diferentes rutas hiperbólicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas. 

  •  Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta.


  • a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el barco alcanzará la costa si continúa sobre la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo. 

    b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar?.
    c) Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es su ubicación exacta? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.). 

    ..
    SOLUCIÓN

    a. Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos estaciones estén sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre ellas (Ver fig. 6.5.18.). 

    fig. 6.5.18.

    Como la diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación implica una diferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones, se deduce entonces que el barco está localizado sobre una hipérbola cuyos focos son las estaciones e radio. 
    Ahora, dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 = 160 millas. 
    Esto indique que 2a = 160 (recordar la definición de la hipérbola) y de aquí a = 80, lo que indica que uno de los vértices de la hipérbola está en el punto V1(80, 0). Ahora, como uno de los focos está en el punto F(125, 0) se deduce entonces que el barco siguiendo la trayectoria hiperbólica alcanzará la costa a 125 80 = 45 millas de la estación principal. 


    b. Si el barco desea entrar sobre la costa a 25 millas de la estación principal, esto indica que debe seguir una trayectoria hiperbólica cuyo vértice es el punto V(100, 0). Asi que 2a = 200 (diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación). 
    De esta forma: 
     

    c. Para encontrar la ubicación exacta del barco, se necesita determinar la ecuación de la hipérbola cuyo vértice es V(100, 0) y uno de sus focos es F(125, 0)
    Asi que a = 100, c = 125. Con lo cual, b2 = c2 a2 = 5625. 
    De esta forma, la ecuación de la hipérbola viene dada por:  
    Como el barco está a 80 millas sobre la costa, quiere decir que está en el punto (x, 80) sobre la hipérbola. En consecuencia, , de donde x = 146
    Por lo tanto, la ubicación exacta del barco es sobre la hipérbola en el punto P(146, 80)