4.12. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD  N°4

4.1. LA LÍNEA RECTA

1. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos:
a. (3, -2) y (9, 6)

b. (4, -3) y (-1, 9)

c. (8, -4) y (-7, 4)

d. (5, -8) y (-7, 8)


 

2. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles. 

 

3. Igual que el ejercicio 2 con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5).

 

4. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.

 

5. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.

 

6. Si la pendiente de la recta que une los puntos:
 
a. A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1.
b. A(6, -1), y, B(10, Y1) es , encontrar Y1.

 

7. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7).
   a. Localizar los puntos medios de los lados.
   b. Localizar el punto de intersección de las medianas.
   c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es 
       paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

 

8. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice.

 

9. Localizar el punto P el cual divide el segmento de recta que une los puntos P1(-4, 2), P2(6, 7) en tal forma que .

 

 10. Localizar el punto P el cual divide el segmento de P1(-4, 3) a P2(8, 7) en la razón 

 

11. El segmento de recta que une los puntos A(-1, -2) y B(5, 1) se extiende hasta el punto C. Si  , encontrar las coordenadas del punto C.

12. El segmento de recta que une los puntos P1(4, 2) a P2(7, -1) se divide externamente a la razón . Localizar el punto de división.

 

13. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3). 

 

14. Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan en un solo punto que está a los  de sus respectivos vértices.

 

15. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8), B(3, -6), hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las coordenadas donde se cortan las medianas es G(2, 6).

 

16. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos:
    a. 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo.
    b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo.

 

17. Encontrar los ángulos agudos de los triángulos del problema 16.

 

18. Encontrar los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3, 0), B(7, 4) y C(3, 6) y demostrar que la suma de ellos es 180º. Si G es el punto de intersección de las medianas, encontrar los ángulos AGB, BGC y CGA y demostrar que la suma de ellos es 360º.

 

19. Determine la pendiente del segmento bisector del ángulo que forma la recta que une los puntos (12, 8) y (6, 6) con la recta que pasa por los puntos (13, 11) y (10, 2).

 

20. Las rectas L1, L2 y L3 se cortan en el punto (-6, 4). Si L1 y L2 contienen los puntos (2, 2) y (0, 0) respectivamente, y L3 es bisector del ángulo de L2 a L1, encontrar la pendiente de L3 y su ecuación.

 

21. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.

 

22. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita.

 

23. Un punto esta situado a 8 unidades del origen y el coeficiente angular de la recta que lo une al origen es 1/4. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?.

 

 24. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de 6x 2y + 8 = 0 con 4x 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0. 

 

25. Cual es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x 3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados?.

26. Encontrar el ángulo agudo que forman las rectas, trazadas desde origen a los puntos de trisección de la parte de la recta de ecuación 2x + 3y 12 = 0, comprendida entre los ejes coordenados.

 

27. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (4, -3) y forman un ángulo de 45º con la recta de ecuación 3x + 4y = 0. 

 

28. La base de un triángulo está formada por la recta que une los puntos (-3, 1) y (5, -1). ¿Cuál es la distancia del tercer vértice (6, 5) a base?

29. Por el punto de intersección de las rectas: L1: 2x y + 2 = 0 y L2: x y + 1 = 0, se desea trazar una recta que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 3/2. Determine la recta.

 

30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de
  L1: x 2y - 1 = 0 y L2: 2x y + 3 = 0 y dista del punto P(0, 1) una longitud igual a 

 

31. Dados dos ejes perpendiculares OX, OY y una recta que los corta en A y B, se proyecta el punto O en C sobre AB, y luego se trazan las paralelas CD y AD, CE y BE a los ejes y se proyecta al punto C en P y Q sobre los ejes.
Demostrar que:

a. El coeficiente angular de  es el cubo del de .

b. Las rectas  son concurrentes.

c. Si llamamos I al punto común, tendremos: .
 


 

32. Encontrar la ecuación de la recta determinada por los puntos (1, 1), (-2, -3) y sobre ella los puntos que están a 15 unidades de los puntos dados.

 

33. Sean P0(X0, Y0), P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2) tres puntos no colineales. Demostrar que el área del triángulo de vértices P0, P1 y P2 viene dada por:


 

34. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:
a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6)

b. (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3)

c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5)

d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2)


 

35. El punto C(x, y) es equidistante de los puntos A(2, 2), B(10, 8) y el área del triángulo ABC es 25. Encontrar C.

 

36. Encuentre la distancia del punto P(6, 1) a la recta 5x + 12y 31 = 0. Ilustre la situación.

 

37. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y 60 = 0. Determine las coordenadas del punto de intersección de estas líneas y halle la distancia de P a l de dos maneras distintas. 

 

 38. Trazar las rectas 3x + 4y 10 = 0, y, 3x + 4y = 0. Determine la ecuación de la paralela media y la distancia entre las rectas dadas.

 

39. Considere el triángulo formado por las intersecciones de las rectas de ecuaciones: 4x 3y 15 = 0, 7x 24y + 55 = 0 y 3x + 4y 5 = 0. Determine el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

40. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2).
a. Encuentre las ecuaciones de las medianas.
b. Encuentre las ecuaciones de las alturas.
c. Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores.
d. Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo.
e. Localice el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del triángulo.

 

41. Determine la distancia y la ecuación de la paralela media, entre los siguientes pares de rectas paralelas:
a. 4x 3y 15 = 0, 4x 3y + 15 = 0.
b. 3x + 4y 10 = 0, 3x + 4y = 0.
c. Ax + By + C = 0, Ax + By + D = 0 C ¹ D.
d. X cos 30º + Y sen 30º - 3 = 0, X cos 30º + Y sen 30º - 6 = 0. 

 

42. Determine la ecuación de la recta que biseca el ángulo agudo formado por las rectas 7x 24y + 40 = 0 y 3x + 4y 8 = 0.

 

43. En cada uno de los literales siguientes, encuentre la ecuación de la familia de rectas que cumple la condición dada:
a. Pendiente -3.
b. Intercepto con el eje X en 2.
c. Intercepto con y en 6.
d. Pasan por el punto (-3, 2).
e. Paralelas a la recta: 4x 3y + 20 = 0.
f. Perpendiculares a la recta 4x 5y + 7 = 0 .

 

42. 
     a. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas: 2x 3y + 7 = 0 
         y   x   + y 7 = 0 y contiene al origen.
     b. Pasa por la intersección de x y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2 con el eje y.
     c. Pasa por la intersección de 5x 2y = 0, x - 2y + 8 = 0 y corta el primer cuadrante 
         determinando  un triángulo de área 36.
     d. Pasa por el punto de intersección de y 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5 unidades del origen.