Ejemplo 1

Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)
....
SOLUCIÓN

x2 x1 = 3 2 = 1 ; y2 y1 = 5 (-3) = 13
Luego, 

 
Ejemplo 2

Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento 
Coordenadas del punto P sobre el segmento  tal que 

..
..
SOLUCIÓN

En la figura adjunta se ilustra el segmento  y los puntos pedidos en a) y 
 
 
 

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:


 

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)

b) Como  entonces 
 

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):

 

Luego, las coordenadas del punto P, son: P
..
Ejemplo 3

Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.
 
 
 

 

......
SOLUCIÓN

Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .

Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) . Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene:

y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que 

Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.


 
Ejemplo 4

Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura
 
 
 
....
..
SOLUCIÓN

Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además, .
Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1.

Para la recta m, b = 1 y 

Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m.

También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx 2.

Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir,

0 = 2m 2 , de donde m = 1.

Por tanto, y = x 2 es la ecuación de la recta n.

Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación:

y = 2x + 2.


 
 
Ejemplo 5

Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta.
....
....
SOLUCIÓN

Para la recta l, se tiene: y 3 = ml (x + 1).
 
 
Pero ml = tan 135º

= - tan 45º = -1

Luego, y 3 = - (x + 1)

ó x + y 2 = 0 es la ecuación de la recta l.

Para la recta r se tiene: y 3 = mr (x + 1).

Pero, mr
 

Luego, y 3 = 3(x + 1) ó 3x y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.


 
Ejercicio 6

Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.
..
SOLUCIÓN

En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta l que pasa por ellos.
 
Entonces, la ecuación de l viene dada por:

o equivalentemente,
3y 9 = 2x 2 o también,
2x 3y + 7 = 0 (1)
La ecuación (1) corresponde a la recta pedida.

Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo:


 
Ejercicio 7

Escribir las ecuaciones de las l, , l2 , l3 , y l4 que aparecen en la figura adjunta.
..
..
SOLUCIÓN

Para l1 se tiene: a = 1, b = -1
Luego, es la ecuación de l1, es decir,
x y = 1
Para l2, de donde 
Para l3, es decir, x + y = 1

Finalmente, para l4 de donde x + y = -1


 
Ejercicio 8

Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)
..
..
SOLUCIÓN

Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1).

Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es:
 

A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A 4B + C = 0 (2)

A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3)
 

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos: 
 

Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:

ó 

Dividiendo ésta última igualdad por C, obtenemos finalmente, 5x 6y 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.

..

Ejercicio 9

Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y 5 = 0. Determinar:

a)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

b)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.
 

..
..
SOLUCIÓN

Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).
Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y l2 respectivamente.
 
Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4.
Ahora, usando la forma punto pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l1:
y simplificándola se puede escribir en la forma general:
3x + 4y 11 = 0

b) Como l2 u l1 , entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3.

Usando nuevamente la forma punto pendiente se tiene para l2:
y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x 3y + 2 = 0
3x + 4y 11 = 0

..
Ejercicio 10

Probar analíticamente que la perpendicular trazada desde el ángulo recto a la hipotenusa, es media proporcional entre los segmentos que ésta determina sobre la hipotenusa.
..
..
SOLUCIÓN

Por conveniencia, se coloca el triángulo ABC como aparece en la fig. donde  es la hipotenusa.
 
 
 
Debemos probar que:


Si l1 denota la recta que pasa por los puntos A y B y l2 la recta que pasa por los puntos C y B y m1 , m2 sus pendientes, entonces:

.

Como l1 u l2, entonces m1 . m2= -1

Esto es, , de donde, .

Ahora .

Así que , luego  lo que se quería demostrar.


 
Ejemplo 11

Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes cooordenados.
....
SOLUCIÓN

En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea  la distancia del origen a la recta.
Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella.

Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene: 
Es decir,  de donde 


 
Ejemplo 12

Reducir la forma general de la recta Ax + By + C = 0 (1), a la forma normal.
....
SOLUCIÓN

Caso 1.

Sin pérdida de generalidad se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo, bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por 1.

La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en la forma normal es positivo.

Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma:

x cos a + y sen a - p = 0 (2)

Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2).

Entonces kA = cos a , kB = sen a y kC= -p

Así que k2A2 + k2B2 = 1, de donde 

Se ha tomado solamente la raiz positiva puesto que B > 0 y 0o 180º.

Al sustituir el valor de k asi obtenido en (3) completando la reducción de la ecuación (1) a la forma normal: , en la cual 
 
 

Caso 2. B = 0
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde  y esta última ecuación puede identificarse con la forma normal x p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y.


 
Ejemplo 13 (distancia de un punto a una recta).

Calcular la distancia del punto P(x1, y1) a una recta l.
....
SOLUCIÓN

Consideremos una recta l y el punto P(x1, y1) que no pertenece a la recta.
Suponga que la ecuación de la recta l ha sido reducida a la forma normal

x cos a + y sen a - p = 0 (1)

Usando el método del ejemplo 12. La distancia d entre P1 y l puede considerarse positiva o negativa de acuerdo a que p esté por encima o por debajo de l.

Puesto que p y a son respectivamente, el intercepto normal y el ángulo normal de l, se sigue entonces que (p + d) y a son el intercepto normal y el ángulo normal de la recta l1 que contiene al punto P(x1, y1) y es paralela a l. En consecuencia, la forma normal de la recta l1 es:

x cos a + y sen a - (p + d) = 0 (2)

Como P(x1, y1) gl1, satisface entonces la ecuación (2).

Es decir, x1 cos a + y1 sen a - (p + d) = 0

De donde, d = x1 cos a + y1 sen a - p (3)

Al comparar las ecuaciones (3) y (1) podemos establecer la siguiente regla:
 
 

Regla: Para encontrar la distancia d entre una recta l y un punto dado, sustituimos las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de l.
 
 

Así por ejemplo, como , representa la forma normal de la recta Ax + By + C = 0, con B > 0, se sigue entonces que la distancia del punto P(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada por: donde el signo de d indica que el punto P(x1, y1) está por encima o por debajo de la recta l.
 
 

En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:
 
 


 
Ejemplo 14

 a) Encontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P(17, 12) y es perpendicular 
      a la recta de  ecuación 5x + 12y 60 = 0.

 b)  Encontrar el punto de intersección de las rectas perpendiculares del literal a).

 c)  Encontrar la distancia del punto de intersección obtenido en b) y el punto P dado en a).
 

....
SOLUCIÓN

 a) Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y 60 = 0 es  entonces, 
     si m1 denota la pendiente de la perpendicular se sigue que .

Asi que de la recta que se busca, se conoce su pendiente  y el punto P(17, 12). En consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por:

ó 12x 5y 144 = 0 es la ecuación general de la recta pedida.
 

 b) Para encontrar el punto de intersección, entre las rectas, se resuelve simultáneamente 
     el sistema:

5x + 12y 60 = 0 (1)

12x 5y 144 = 0 (2)

Para ello, se multiplica por 5 la ecuación (1) y se le suma la ecuación (2) multiplicada por 12. Así:
 
25x + 60y 300 = 0

144x 60y 1728 = 0

169x 2028 = 0


de donde x = 12 es la abscisa del punto de intersección.

Reemplazando el valor de x asi obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de intersección entre las rectas. Es decir PI(12, 0) es el punto de intersección pedido.

En la fig. se ilustra la situación planteada en los literales a) y b).
 
 
 

 c) Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:

Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y PI es usando la fórmula de la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuación:

5x + 12y 60 = 0.

En efecto, 
 
 
 


 
Ejemplo 15

Usando un procedimiento similar al del ejemplo 14, deducir la fórmula de la distancia del punto P(x1, y1) a la recta de ecuación Ax + By + C = 0.
....
SOLUCIÓN

Considere en el plano, la recta l de ecuación Ax + By + C = 0 (1) y el punto P(x1, y1) del plano que no esta en la recta .
 
 
 

La pendiente de la recta l viene dada por . Si llamamos n a la perpendicular trazada desde P(x1, y1) a la recta l, entonces la pendiente de n es  y como P(x1, y1) está sobre n, se tiene entonces que  (2) representa la ecuación de n.
 
 

De (2) se deduce que: 
 
 

De donde: 
 
 

Asi que  (3)
 
 

representan las ecuaciones paramétricas de la recta n.
 
 

A cada valor de l  le corresponde un punto de n.
 
 

Así, por ejemplo, cuando l = 0, x (0) = x1, y (0) = y1 osea que estamos en el punto P(x1, y1) de n.
 
 

Si HI (xI, yI) denota el punto de intersección de las rectas l y n, entonces existe un valor de l , (l H) tal que

(4)
 
 

puesto que HI În, por lo tanto satisface (3).

Igualmente, como HIÎl, entonces HI satisface su ecuación. Esto es, Ax1 + By1 + C1 = 0 y sustituyendo los valores de (4) podemos escribir:

A (x1 + lHA) + B (y1 + lHB) + C = 0

ó Ax1 + By1 + l H (A2 + B2) + C = 0

De donde,  (5)

Al sustituir, (5) en (4), permitiría conocer las coordenadas xI, yI del punto de intersección en términos de las cantidades conocidas A, B, C, x1, y1.

De otro lado, si  denota la distancia del punto P(x1, y1) al punto HI (xI, yI), se tiene entonces aplicando la fórmula de distancia que:

y como de acuerdo a (5), , se tiene finalmente que:

ó 


 
Ejemplo 16

Determine las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas 3x 4y 12 = 0 y 12x 5y + 7 = 0.
....
SOLUCIÓN

En la figura adjunta aparecen las rectas de ecuaciones dadas, asi como también el punto P de intersección entre ellas.
 
 
 

Una de las bisectrices es:

ó 
 
 

Al simplificar la última igualdad se obtiene: 21x + 27y + 191 = 0
 
 

La otra bisectriz es : , que luego de simplificar, se obtiene:

9x 7y 11 = 0.
 

Ambas rectas, pueden ahora trazarse a través de P, punto de intersección de las rectas dadas.


 
Ejemplo 17

Encuentre la distancia y la ecuación de la paralela media entre las rectas de ecuaciones:
l: 3x + 2y = 6 y r: 3x + 2y = -12
....
SOLUCIÓN

En primer lugar se trazan las rectas en el plano cartesiano.
 
 
 
Si b1 denota el intercepto de la recta l con el eje y, entonces b1 = 3.
Si b2 denota el intercepto de la recta r con el eje y, entonces b2 = -6.
Luego, la paralela media entre l y r tiene por ecuación:

; es decir, 
 

Ahora, la distancia  entre las paralelas viene dada por:


 
Ejemplo 18

Encontrar la ecuación de la familia de rectas que equidistan 15 unidades del origen de coordenadas.
....
SOLUCIÓN

La ecuación de cualquier recta del plano, salvo las paralelas al eje y, pueden escribirse en la forma: y = mx + b o también mx y + b = 0.

Nótese que en esta última ecuación hay dos parámetros m y b.

Para las rectas de la familia buscada, se debe cumplir la condición d (0, mx y + b) = 15 (distancia del origen a la recta es igual a 15).

Es decir, 

de donde,  Esta es la relación que debe existir entre las parámetros m y b de la familia de rectas buscada.

Por lo tanto,  m Î R

es la ecuación de la familia de rectas, cuya distancia al origen es 15 unidades.

..