Coordenadas del punto medio M del segmento 
Coordenadas del punto P sobre el segmento  tal que 

En la figura adjunta se ilustra el segmento  y los puntos pedidos en a) y 

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x _m, y _m) entonces:

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)

b) Como  entonces 
 

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):

Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) . Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene:

y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que 

Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.

Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además, .

Para la recta m, b = 1 y 

Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m.

También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2.

Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir,

0 = 2m – 2 , de donde m = 1.

Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n.

Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación:

y = 2x + 2.

Pero ml = tan 135º = - tan 45º = -1 Luego, y – 3 = - (x + 1) ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l.

Para la recta r se tiene: y – 3 = m_r (x + 1).

Pero, m_r = 
 

Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.

 

Entonces, la ecuación de l viene dada por: o equivalentemente, 3y – 9 = 2x – 2 o también, 2x – 3y + 7 = 0 (1)

Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo:

Para l1 se tiene: a = 1, b = -1 Luego, es la ecuación de l1, es decir, x – y = 1 Para l2 : , de donde  Para l3 : , es decir, x + y = 1

Finalmente, para l₄ de donde x + y = -1

Como P₁ y P₂ pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es:
 

A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2)

A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3)
 

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos:  y 
 

Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:

ó 

Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.

a)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

b)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.
 

Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4. Ahora, usando la forma punto – pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l1: y simplificándola se puede escribir en la forma general: 3x + 4y – 11 = 0

b) Como l₂ u l₁ , entonces m₂ = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m₂ = 4/3.

Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l₂:
y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0
3x + 4y – 11 = 0

Por conveniencia, se coloca el triángulo ABC como aparece en la fig. donde  es la hipotenusa.

Debemos probar que: Si l1 denota la recta que pasa por los puntos A y B y l2 la recta que pasa por los puntos C y B y m1 , m2 sus pendientes, entonces:

y .

Como l₁ u l₂, entonces m₁ . m₂= -1

Esto es, , de donde, .

Ahora  y .

Así que  y , luego  lo que se quería demostrar.

En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea  la distancia del origen a la recta.

Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella.

Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene: 
Es decir,  de donde 

Sin pérdida de generalidad se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo, bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por –1.

La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en la forma normal es positivo.

Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma:

x cos a + y sen a - p = 0 (2)

Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2).

Entonces kA = cos a , kB = sen a y kC= -p

Así que k²A² + k²B² = 1, de donde 

Se ha tomado solamente la raiz positiva puesto que B > 0 y 0^o 180^º.

Al sustituir el valor de k asi obtenido en (3) completando la reducción de la ecuación (1) a la forma normal: , en la cual ,  y 
 
 

Caso 2. B = 0
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde  y esta última ecuación puede identificarse con la forma normal x – p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y.

Suponga que la ecuación de la recta l ha sido reducida a la forma normal x cos a + y sen a - p = 0 (1) Usando el método del ejemplo 12. La distancia d entre P1 y l puede considerarse positiva o negativa de acuerdo a que p esté por encima o por debajo de l.

Puesto que p y a son respectivamente, el intercepto normal y el ángulo normal de l, se sigue entonces que (p + d) y a son el intercepto normal y el ángulo normal de la recta l₁ que contiene al punto P(x₁, y₁) y es paralela a l. En consecuencia, la forma normal de la recta l₁ es:

x cos a + y sen a - (p + d) = 0 (2)

Como P(x₁, y₁) gl₁, satisface entonces la ecuación (2).

Es decir, x₁ cos a + y₁ sen a - (p + d) = 0

De donde, d = x₁ cos a + y₁ sen a - p (3)

Al comparar las ecuaciones (3) y (1) podemos establecer la siguiente regla:
 
 

Regla: Para encontrar la distancia d entre una recta l y un punto dado, sustituimos las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de l.
 
 

Así por ejemplo, como , representa la forma normal de la recta Ax + By + C = 0, con B > 0, se sigue entonces que la distancia del punto P(x₁, y₁) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada por: donde el signo de d indica que el punto P(x₁, y₁) está por encima o por debajo de la recta l.
 
 

En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:
 
 

 b)  Encontrar el punto de intersección de las rectas perpendiculares del literal a).

 c)  Encontrar la distancia del punto de intersección obtenido en b) y el punto P dado en a).
 

 a) Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0 es  entonces, 

     si m₁ denota la pendiente de la perpendicular se sigue que .

Asi que de la recta que se busca, se conoce su pendiente  y el punto P(17, 12). En consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por:

ó 12x – 5y – 144 = 0 es la ecuación general de la recta pedida.
 

 b) Para encontrar el punto de intersección, entre las rectas, se resuelve simultáneamente 
     el sistema:

5x + 12y – 60 = 0 (1)

12x – 5y – 144 = 0 (2)

25x + 60y – 300 = 0

144x – 60y – 1728 = 0

169x – 2028 = 0

de donde x = 12 es la abscisa del punto de intersección.

Reemplazando el valor de x asi obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de intersección entre las rectas. Es decir P_I(12, 0) es el punto de intersección pedido.

En la fig. se ilustra la situación planteada en los literales a) y b).
 
 
 

 c) Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:

Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y P_I es usando la fórmula de la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuación:

5x + 12y – 60 = 0.

En efecto, 
 
 
 

La pendiente de la recta l viene dada por . Si llamamos n a la perpendicular trazada desde P(x₁, y₁) a la recta l, entonces la pendiente de n es  y como P(x₁, y₁) está sobre n, se tiene entonces que  (2) representa la ecuación de n.
 
 

De (2) se deduce que: 
 
 

De donde:  y 
 
 

Asi que  (3)
 
 

representan las ecuaciones paramétricas de la recta n.
 
 

A cada valor de l  le corresponde un punto de n.
 
 

Así, por ejemplo, cuando l = 0, x (0) = x₁, y (0) = y₁ osea que estamos en el punto P(x₁, y₁) de n.
 
 

Si H_I (x_I, y_I) denota el punto de intersección de las rectas l y n, entonces existe un valor de l , (l _H) tal que

(4)
 
 

puesto que H_I În, por lo tanto satisface (3).

Igualmente, como H_IÎl, entonces H_I satisface su ecuación. Esto es, Ax₁ + By₁ + C₁ = 0 y sustituyendo los valores de (4) podemos escribir:

A (x₁ + l_HA) + B (y₁ + l_HB) + C = 0

ó Ax₁ + By_{1 +} l _H (A² + B²) + C = 0

De donde,  (5)

Al sustituir, (5) en (4), permitiría conocer las coordenadas x_I, y_I del punto de intersección en términos de las cantidades conocidas A, B, C, x₁, y₁.

De otro lado, si  denota la distancia del punto P(x₁, y₁) al punto H_I (x_I, y_I), se tiene entonces aplicando la fórmula de distancia que:

y como de acuerdo a (5), , se tiene finalmente que:

ó 

Una de las bisectrices es:

ó 
 
 

Al simplificar la última igualdad se obtiene: 21x + 27y + 191 = 0
 
 

La otra bisectriz es : , que luego de simplificar, se obtiene:

9x – 7y – 11 = 0.
 

Ambas rectas, pueden ahora trazarse a través de P, punto de intersección de las rectas dadas.

Si b1 denota el intercepto de la recta l con el eje y, entonces b1 = 3. Si b2 denota el intercepto de la recta r con el eje y, entonces b2 = -6. Luego, la paralela media entre l y r tiene por ecuación: ; es decir,

Ahora, la distancia  entre las paralelas viene dada por:

Nótese que en esta última ecuación hay dos parámetros m y b.

Para las rectas de la familia buscada, se debe cumplir la condición d (0, mx – y + b) = 15 (distancia del origen a la recta es igual a 15).

Es decir, 

de donde,  Esta es la relación que debe existir entre las parámetros m y b de la familia de rectas buscada.

Por lo tanto,  m Î R

es la ecuación de la familia de rectas, cuya distancia al origen es 15 unidades.