3.6.1 Ejercicios Resueltos Sobre Polinomios 

1. Considere los siguientes polinomios :

;

Determine el polinomio que representan :

a) p(x) + q(x).

b) p(x) - h(x).

c) r(x)× h(x).

d) s(x)+ t(x).

..
 
Solución

a)

entonces, 


b)

entonces, 

c)


donde los  se han obtenido usando la definición iii) de la sección 3.2. 

   s(x)+ t(x) = 4x - 5. 

Note:   que el grado (s(x)) = 2 y el grado(t(x)) = 2,mientras que el grado s(x)+t(x)) = 1. 


2. Usando el método de Ruffini (división sintética), encuentre el cociente c(x) y el residuo r(x) despuésde dividir  entre ; donde i es la unidad imaginaria. 
..
Solución

Efectuando la disposición práctica indicada en el método para p(x) y q(x) y efectuando las operaciones, se obtiene : 

   2        0             4              0            -16        -2i

        2(-2i)       (-4i)(-2i)    (-4)(-2i)     8i(-2i
__________________________________________ 
  2       -4i            -4              8i           

Así que :  y r(x) = 0. 

De acuerdo al Algoritmo de la División, se puede escribir : 

+ 0 , es decir ,  es un factor o divisor de 


3.Demuestre que  es irreducible en , pero es reducible en 
..
Solución

Supongamos lo contrario , es decir,  es reducible en . De ser así, 

puede escribirse en la forma :  ó equivalentemente , 

. De acuerdo a la definición de igualdad de polinomios se tiene : 

(1). 

(2). 

(3). 

De (2) se tiene que bc = -ad (4). Pero, (ac)(bd) = 1. 

Por lo tanto, <->, en contradicción con el hecho de que el cuadrado de cualquier real es positivo. En consecuencia, la hipótesis inicial es falsa, es decir ,  es irreducible en 

De otro lado, , lo que indica que  es reducible (factorizable) en

 


4.Pruebe que todo polinomio factorizable o reducible tiene al menos grado 2.
..
Solución

Suponga que f(x) es un polinomio factorizable , es decir, , donde h(x) y g(x) son polinomios no constantes. 

Entonces, grado f(x) = grado h(x) + grado g(x) ; pero como h(x) y g(x) son no constantes , grado h(x) >=1 y grado g(x) >=1. 

En consecuencia, grado f(x) >= 1 + 1 ; esto es , grado f(x)>= 2 . 

De una manera más general , puede probarse que cualquier polinomio cuadrático de la forma :, con  no es factorizable en , pero si en , si 


5. Si el residuo de dividir el polinomio  entre  es 6, determine, entonces, el residuo de dividir f(x) entre (x - 3). 
..
Solución

De acuerdo con el teorema del residuo, si al dividir f(x) entre (x + 3), el residuo es 6, entonces, f(-3) = 6. Es decir, . Esto es 
(1)
Pero, 

(2) 

De  (1)  y  (2) se  concluye que f( 3 ) = - 22 y esto quiere decir que el residuo de dividir f(x) entre     (x - 3) es - 22. 
 

 3.6.2 Ejercicios Resueltos Sobre Ecuaciones Cuadráticas. Factorización de Sumas y Diferencia de Cubos

1.Resolver la Siguiente Ecuación Cuadrática

..
Solución

La ecuación puede escribirse en las formas equivalentes:


 

(Porqué?)


2.Resuelva la Siguiente ecuación reducible a cuadrática.
(1)
..
Solución

 
Note que al hacer (2), la ecuación (1) se Transforma en:

(ecuación cuadrática en la variable u)

cuya solución es: u = 5 y u = -4.

Al sustituir u = 5 en (2) : , con lo cual 

Igualmente, al sustituir u = -4 en (2) se obtiene: , y de aquí 

En consecuencia, las soluciones de la ecuación (1) son .


3.Considere la ecuación cuadrática : . Determine los valores que puede tomar la constante k, para que las raíces de la ecuación dada sean complejas.
..
Solución

La ecuación puede escribirse en la forma : , que es la forma de la ecuación cuadrática con a = 3 y b = c = 2- k.

Para que las raíces de la ecuación sean complejas, el discriminante : debe ser negativo. Esto es,

(1)

Para resolver la desigualdad (1), se usa el método gráfico.
 

Signo de ( 2-k)  ++++ + + + + + + + + + + +| - - - - - - - - - - - - 
                                                                   2 

Signo de (-10-k) +++ + + + + +| - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 

Signo del producto ++ +++ + + | - - - - - - -  |+ + + + + + + + +

                                           -10                    2

De acuerdo a la desigualdad (1), son de interés aquellos valores para los cuales el producto es negativo, es decir, los valores de k que pertenecen al intervalo abierto 
(-10 ; 2).


4. Resuelva este problema :

Hay que repartir $60.000 entre cierto número de amigos, presentes en una reunión, de manera exacta entre ellos. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le tocaría $2.500 más. ¿ Cuántos son los amigos presentes y cuánto le toca a cada uno? 

..
SOLUCIÓN

Sea x: número de amigos presentes.

: dinero que le corresponde a cada uno.

: dinero que le tocaría a cada uno, si hubieran dos amigos menos.
 
 

De acuerdo a las condiciones del problema, se tiene :

.
 

Después de quitar denominadores y simplificar, se obtiene la ecuación cuadrática :

,

cuyas soluciones son: x = 8 y x = -6.

En el caso considerado, x = 8 es el número de amigos presentes y $7500 lo que le toca a cada uno.


5. Realice la descomposición en factores del polinomio : en:  a) Q[x]     b) Â[x]        c) C[x]
..
Solución


(agrupación)
(factor común )
(factor común )
a) En Q[x] la factorización de p(x) es : 

Ahora, 

El polinomio cuadrático  no es factorizable en  [x], 

puesto que el discriminante 

b) En  [x] la factorización de p(x) es, por lo tanto, la siguiente:

.

c) Para completar la factorización de p(x) en C[x] , sólo nos falta factorizar el polinomio cuadrático .

En efecto,
(completación de cuadrados).

Luego, en C[x] , la factorización de p(x) viene dada por :