Introducción histórica

 Desde   hace  por lo menos  3.500 años,  se resuelven  problemas  que  dan   lugar  a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales problemas  y  la  forma  de  resolverlos.  Algunas  de  las  antiguas  tablillas  contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometría.Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución de la ecuación: x2-x = 870 

"Tómese  la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y cuádrese. Entonces, súmese 1/4  a  870, para  obtener  3.481/4.  Ahora,  tómese  la  raíz  cuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1  que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación". 

Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los siguientes pasos: 




Del  ejemplo  mencionado  anteriormente, se  deduce  que el método  empleado para la  solución  era  el   de  completación  de  cuadrados,  el   cual   se   sigue   empleando   y enseñando actualmente en la escuela secundaria. 

A continuación, se describen los resultados  teóricos más  importantes  relacionados con las ecuaciones de segundo grado. 

Definiciones.

i)  La  ecuación,  donde a, b y c son números reales y  a¹ 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x

ii)  Si   b  y c  son  distintos  de   cero,  la ecuación se llama  completa o afectada; incompleta, en caso contrario. 

Así,  las ecuaciones: yson cuadráticas completas, mientras que las ecuaciones: son cuadráticas incompletas. 

iii)  En  la  ecuación  cuadrática: ,  la cantidad:    es  llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema. 

Teorema.
Considere la ecuación cuadrática:; a0. 

Si , entonces, las raíces son reales y diferentes

Si , entonces, las raíces son reales e iguales

Si , entonces, las raíces son complejas conjugadas
 

3.4.1 Solución de ecuaciones cuadráticas.

Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
 

Método 1. Solución por factorización .

Como  toda ecuación  cuadrática es  equivalente a  una ecuación  en la cual uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así: 

Si , , entonces,  la  ecuación   es equivalente a:(1). 

La  ecuación (1)  puede resolverse usando la  propiedad del sistema de los números reales: 
 

Método 2. Solución por completación de cuadrados.

Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática. 

Se supone que la ecuación:,con 0 ,es equivalente a la ecuación cuadrática: 

(1). 

Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene: 

ó 

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si ), se obtiene: 
 


,de donde (2).

La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación : 
 

Metodo 3 solucion por la formula general
 

Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática : , con 0 viene dada por : 

(1).

Solución :

La ecuación: , con 0 ,es equivalente a la ecuación : 

Sumando ,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene: 

O equivalentemente, 

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b2-4ac >= 0), se obtiene: 

De donde : 
 


(2)



La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver la ecuación cuadrática : ; con 0. 
 
 

3.5 FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS

 Use el teorema del factor para demostrar que: 

a) Si nÎ N ,entonces, (x - y ) es factor de 
b)  Si n es natural par, entonces, (x + y ) es factor de 
c)  Si n es natural impar, entonces, (x + y ) es factor de 
 

Solución: 
Considere el polinomio .
  a)  Como, se sigue, entonces, por el teorema del factor que 
(x - y ) es factor de 

  b)  Si  n es  natural  par,  entonces,   con  kÎ N .  Así que 

Como , se sigue, entonces, por el teorema del factor que 

(x -(- y) ) = (x + y ) es factor de .

c) Considere el polinomio con n impar. 

Entonces, . Como n esimpar,y,  por lo tanto, 

. En  consecuencia ,  (x -(- y) )  =  (x + y )  es factor de 

.

Del ejemplo anterior y usando la regla de Ruffini, se pueden deducir las siguientes fórmulas que permiten factorizar la suma y la diferencia de potencias n-simas

si n E N, (1)
si n natural par, (2)
si n natural impar, (3)

Casos Particulares: Sumas y Diferencias de Cubos
 

Cuando n = 2, se obtiene de la formula (2): 

     x2-y2=(x-y)(x+y) (4) 

La Fórmula (4) se usa para factorizar cualquier diferencia de cuadrados. 

Cuando n = 3, las fórmulas (1) y (3) sea transforman, respectivamente en: 

x3-y3= (x-y)(x2+xy+y2)  (5) 

x3 + y3= (x+y)(x2-xy+y2)  (6) 

Las fórmulas (5) y (6) se usan respectivamente para factorizar, una diferencia o una suma de cubos