2.2. LA FUNCIÓN  LOGARÍTMICA 

Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. 

El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. 

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 

La igualdad N  ,donde N es un número real y , es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales:

Dada la base a y el exponente x ,encontrar N

Dados N y a, encontrar x
 
 

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo, la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N, cuando N y a son reales positivos y 

Lo anterior da lugar a la siguiente definición: 


Definición.

Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base 

denotada por  ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número  se llama logaritmo de x en la base a

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. 

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. 

2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,  .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,  .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 

Para todo número real , existe un único número real  tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva . 

Si  , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)
 

Demostración.

Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. 

A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector. 
 

Sea  .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene : 

Esto es ,  ( 1 ) 

En segundo lugar , nuevamente por la definición ,  0

Es decir ,  ( 2 ). 

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que 

Sea  , entonces : 

( 1 ). 

( 2 ). 

De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : 

Es decir , 

7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :  .Se prueba que 

En efecto ,si  ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir ,  en contradicción con la hipótesis. 

Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. 

Observaciones.

i ) La igualdad , dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 . 

ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen
   de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma
   base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es. 

iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número
    e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se
    denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son
    los  correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan
     por  o,   simplemente, Log x.
 
 
 

2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. 

En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas  .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x

fig 3






fig 4


  fig.5