15.1 Ejercicios Propuestos Sobre Conjuntos Numéricos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son VERDADERAS O FALSAS. 

a) 1000 Î N                      b) 5.41Î Z               c) 3.14Î

d) 0Î Z                             e) 3/ 5 Π              f) -Ö 216 ÎZ 

g) 2.141414Î Q             h) -5/ 6 Ï Q             i) 500.1ÏN

 

2. Usando los signos: Ì (contenido) , Ë ( no contenido) llene los espacios en blanco de manera que se obtenga una proposición verdadera. 

a) N____ Z                      b) Q____ N                 c) C____  

d) Z____ Q                     e) Q____                  f) ___ N 

g) Z Ç N ___í 0ý           h) Q È Z____Z          i) C Ç N____ Z

 
1.5.2 Ejercicios Propuestos Sobre Intervalos, Desigualdades y Valor Absoluto

1. Demostrar las siguientes desigualdades : 

a) Si a < b y c < d , entonces, a+c <b+d . 

b) Si a < b , entonces, -b <-a . 

c) Si a > 1 , entonces,> a. 

d) Si 0 < a < 1 , entonces,< a. 

e) Si 0 £a < b y 0 £ c < d, entonces, ac < bd . 

f) Si 0 £a < b , entonces,  .( utilice e)). 

g) Comprobar por medio de ejemplos que si a,b,c y d son positivos, y a > b y c > d , no necesariamente se sigue que . 

h) Si a y b son números positivos desiguales(a>0, b>0, a¹ b) 

demostrar que :
 

2. Escribir con notación de conjunto , el intervalo(s) resultante de la operación dada. 

a) [ -3;7] È [2;6]                     d) (-¥ ; 2] È [1;+¥

b) [2;4] È [3;10)                     e) [2;6] - (3; 7] 

c)[2;5) Ç [5; 8)                        f) [ 1;5] È í - [3; 7]ý

 

3. Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de: 

a) í xÎÂï x < 5 ýÇí xÎÂï x £ 5 ý 

b) í xÎÂï -5£x £ 5 ýÇíxÎÂï -1< x < 1 ý 

c) í xÎÂï -5<x < 5 ýÇí xÎÂï -1£x £ 1 ý 

d) í xÎÂï x < +¥ýÈ íxÎÂï -2 £xý 

e) í xÎÂï x < 0ýÈí xÎÂï -2£x £ 10 ý

 

4. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ;D =(-4;-3); E =[-1;4); F=(-4;3), determine: 

a) A È E                   d) E - F                                   g) D È

b) A Ç E                   e) (F -E) Ç (E - F)                   h) C Ç í - (FÈ D)ý 

c) F - E                   f) C Ç ( F È D)                     i) Â - (FÇ D)

 

5. Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades . Exprese el resultado como un intervalo o unión de intervalos. 

a) 2x-4 < x - 8                             b)< 4x+1 

c) 3x-5 ³ 8x+7                          d) > 9 -6x 

e) ( x+2)(x-3) < 0                        f)£6 

g) (3- x)( 2+x) > 0                       h) -7£ 1- 2x £ -1 

i) -1< 3x-5 £ 6                           j) 

k)                            l) 

ll)                               m) 

n)                       o) 

p)                            q) 

r) 

 

6. Determine: , sabiendo que: 

a) x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0. 

b) x ³ 0 , y < 0 , z < 0. 

c) x < 0 , y < 0 , z < 0. 

d) x ³ 0 , y < 0 , z ³ 0. x ³ 0 , y < 0 , z ³ 0.

 

7. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto. 

a)                       b)                   c)  

d)            e)            f)  

g) 

 

8. Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades con valor absoluto . Exprese el resultado como un intervalo o unión de intervalos. 

a)                        b)                    c)  

d)                      e)                      f)  

g)                        h)                           i)  

j)                  k)                l)  
 

ll)                 m)                 n)  
 

o)                p)             q)  

r)               s) 

 

9. Use la desigualdad triangular y el hecho de que  para establecer (demostrar) la siguiente cadena de desigualdades : 
 

10. Demuestre que :  (Use el ejercicio 9).
 

11. Demuestre que :
Þ