1.4.2 Ejercicios Resueltos Sobre Números Complejos

1Determine analítica y gráficamente los complejos z = (x,y), que verifican las siguientes relaciones:  

a) Re(z) = -2.  

b)  

..
SOLUCIÓN

a)  Si z = (x,y), como x = Re(z) = -2, se sigue, entonces, que z es un par ordenado que tiene la forma z = (-2,y). 
Geométricamente, representa una línea recta paralela al eje y, que pasa por el punto de la abscisa -2 (Fig. 3.a).
 

b) Si z = (x,y), como y = ,entonces, los valores de z, que verifican, son todos aquellos números complejos cuya ordenada y verifica : -2£y < 3; o equivalentemente: y  ³ -2 y y <3.La conjunción de estas desigualdades representa gráficamente la franja del plano cartesiano comprendida entre las rectas y = -2 e y = 3. (Fig. 3.b). Note que la recta y = 3 se ha trazado en forma punteada para indicar, con esto, que los puntos sobre la recta no pertenecen a la solución . 

 

2 Simplifique totalmente la expresión : 
..
SOLUCIÓN

 

= 

Como 30 = 4× 7 + 2 y 31 = 4× 7 + 3 ,entonces:  

Por lo tanto, 

 

3. Encuentre los valores de x e y para los cuales se verifica la siguiente igualdad :  
x + y +1 + (x - y + 3 )i = 1 + 7i .
..
SOLUCIÓN 

Sean  

Recordando que dos complejos son iguales si y sólo si sus correspondientes partes reales e imaginarias son iguales, se tiene, entonces :  

x + y +1= 1 y x - y + 3 = 7. Resolviendo simultáneamente el sistema anterior, se obtiene : 
x = 2 e y = -2. 

 

4. Efectúe las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes literales, expresando el  
     resultado en la forma (a + bi). 
 
a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i].  

b) . 

 
..
SOLUCIÓN 

a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i] = 2m + 5 +i +2 +3mi -2i  = (2m +7 ) +(-1 +3m ).i 

b) En primer lugar,  
También ,  

Por tanto ,  

 

5.Demuestre la propiedad 9 del teorema de la sección 1.3.4. 
....
SOLUCIÓN 

Sea z = a + bi ; a = Re(z) , b =  

entonces, . Es decir ,  y, por tanto,  (1).  

Ahora, como aÎÂ, a£| a| (2). De (1) y (2), se concluye que a £ | z | ,es decir,  

 

Procediendo en forma similar, se demuestra que 

 

6.Demuestre la propiedad 12 del teorema de la sección 1.3.4.
..
SOLUCIÓN 

(Propiedad 7)  

(Propiedad 1)  

(Distributiva )  

(Propiedad 7)  

Pero, la igualdad:  indica que los términos: son complejos conjugados uno del otro y por la propiedad 2, se sigue que:  

 

Por tanto ,  (1).  

Ahora bien ,de acuerdo con la propiedad 9 ,  ó, también,  

(2).  

De (1) y (2), se tiene :  

 

0 equivalentemente ,  

De donde .

 

7. Determine analítica y gráficamente los complejos z que verifican : 

a) 1  £ | z £ 3. 

b)  | z - 1 + i | = 1. 

..
SOLUCIÓN 

Sea z = x + yi la forma binomial del número complejo buscado .

a) 1£ | z |£ 3 Û o también ,  (1). La desigualdad (1) es equivalente a la conjunción de las desigualdades : (2) y  (3).  Geométricamente, (2) representa todos los puntos (x,y) del plano complejo que están por fuera del círculo unidad (incluyendo la circunferencia (Fig. 4.a.)). 

De la misma forma, (3) representa geométricamente todos los puntos (x,y) del plano complejo que están en el interior del círculo centrado en el origen y radio 3, incluyendo la circunferencia (Fig. 4.b).  

Como (2) y (3) se cumplen de manera simultánea esto significa geométricamente que, se debe considerar, como solución de la desigualdad inicial, la región común o intersección de las regiones de las figuras (4.a) y (4.b), esta es la corona que aparece en la Fig. 4.c.

  b) | z - 1 + i | = 1 Û | x + iy - 1 + i | = 1  |( x -1 ) + ( y + 1 )i | = 1  

 

(4) 

La ecuación (4) representa geométricamente todos los puntos del plano complejo que están sobre la circunferencia de radio 1 , centrada en el punto C(1,-1).(Fig. 5). 
 

8. Pruebe que si  son dos números complejos ,entonces : 

..
SOLUCIÓN 

Se prueba la igualdad transformando el primer miembro en el segundo. Esto es , 

(Propiedad 7) 

(Propiedad 1) 

(Efectuando los productos y simplificando). 

(Propiedad 7)