1.4.1 Ejercicios Resueltos Sobre Intervalos, Desigualdades y Valor Absoluto

1. Considere los siguientes intervalos: 

A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. 

Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: 

a) A u D                       b) A Ç C                                               c) B C 

d) A Ç (B u C)             e) B* (el complemento de B)            f) C* (el complemento de C)

 
Solución

En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera mas sencilla las operaciones propuestas. 
 
 
Asi que: 

a. A u D = D = (-4, 5] = {x x  R / -4 < x £ 5}  

b. Como la intersección de dos conjuntos, corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que: 

    A Ç C = [-1, 3] = {  x x  R  / -1 £ x £ 3}
c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (-3, -1). 

Asi que: B-C=(-3,-1)={ x x R / -3 < x < -1} 

Igualmente, C - B = [3, 4] = { x x  R  / 3 £ x £ 4} 

d. En primer lugar, B u C = (-3, 4] = { x x  R / -3 < x £ 4} 

De la gráfica anterior, se deduce que: 
     
    A Ç (B u C) = (-3, 3] = { x x  R/ -3 < x £ 3}
e. En este caso, el conjunto Universal o referencial es R . 

Asi que: 

B* = R - B = (- ¥ , -3] U [3, +¥) = { x x  R / x < = -3 v x >= 3}

Igualmente,  C* = R - C = ( , -1) U (4, )= {x x R/ x < -1 v x > 4}

 

2. Demostrar la propiedad V.A.7.
 
Solución

Demostración. 
En primer lugar, se asume que y que además, , y se prueba que . 

En efecto, 

Si , entonces, . 

Si , entonces, , asi que  . 
 

En cualquiera de los casos, se concluye que . 

Recíprocamente, 
Si , entonces, . Asi que . 
Si , entonces, , asi que .

 

3. Demostrar la propiedad V.A.14.
 
Solución

Demostración. 

(desigualdad triangular). 

De acuerdo a V.A.5., . 

Asi que:  (1). 

Igualmente, 

(porqué?) 

Asi que:  (2) 

De (1) y (2) se concluye que: 

 

Esta última desigualdad, es equivalente a la siguiente: 

 

¿La equivalencia se deduce de cual propiedad?

 

4. Resolver la desigualdad: 3x-1 <= x+5.
 
Solución

 

 

 

En consecuencia, la solución o el conjunto solución S, viene dado por: S = {x x R / x <= 3} = ( , 3]

 

5. Resolver la desigualdad: 
 
Solución

(Porqué?) 

En consecuencia, la solución es el intervalo abierto (2, + ¥ ).

 

6. Resolver la desigualdad: 
 
Solución

Debe notarse en primer lugar que la desigualdad no es equivalente a x >= 2, puesto que (x - 1) no siempre es positivo. Sin embargo, . 

Esta última desigualdad se satisface si y solo si x = 2 o las dos cantidades: (x 2) y (x 1) tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) ¿porqué? 

Pero, (x 2) y (x 1) son positivas si y solo si x > 2. También, (x 2) y (x 1) son negativas si y solo si x < 1. 

En consecuencia, la solución de la desigualdad la constituye la unión de los intervalos: 

[2, + ¥ ) y (-¥ , 1). 

Esto es, S = (-¥ , 1] U [ 2, +¥ )

 

7. Resolver la desigualdad: 
 
Solución

En primer lugar, la inexperiencia lo puede llevar a efectuar el producto de extremos y medios, conservando el sentido de la desigualdad y escribir: 

es la solución. 
Sin embargo, existen valores de x, x > 0 que no son solución (por ejemplo ) y existen valores de x, x < 0 que si son solución (por ejemplo ). En consecuencia, x > 0 no corresponde al conjunto solución. 

Para evitar situaciones como la anterior, procedemos de la siguiente forma: 

 

 

 

La última desigualdad, puede resolverse analíticamente distinguiendo varios casos según el signo del numerador y denominador de la fracción. 

El método que se propone a continuación es mucho mas ágil y puede desarrollarse siguiendo los siguientes pasos: 

1. Se analiza el signo de cada uno de los factores que contiene el Numerador y Denominador de la fracción, tomando como punto de referencia los valores que anulan cada factor. Para ello se eligen puntos de prueba anteriores y posteriores al referencial. 

2. Se efectúa el producto de los signos de cada factor en los intervalos determinados por los puntos de referencia. 

3.El conjunto solución lo constituye el intervalo o unión de intervalos cuyo signo coincide con el signo del lado derecho de la desigualdad. 

Asi, si el signo del lado derecho de la desigualdad es ">", se eligen los intervalos con signo (+). Si el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", se eligen los intervalos con signo (-). 

4.Verifique si los puntos referenciales pertenecen o no al conjunto solución, sustituyéndolos en la desigualdad y poder determinar de esta forma la naturaleza de ellos: abierto, cerrado, semiabierto, etc. 
Apliquemos el método, al caso particular: . El diagrama adjunto recoge toda la información obtenida siguiendo el método descrito. 
 
 

    PUNTO 
DE REFERENCIA
  PUNTOS 
DE PRUEBA
Signo 

de (-2x)

  + + + + + + + + + +| -- - - - - - - - - 
                                 0
 -2x = 0 
 ->x=0
 x = 1 
 x = -1
Signo 

de (x-1)

- - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - | + + + + + + + 
                                                      1
 x 1 = 0 
 -> x = +1
 x = 0 
 x = 2
Signo 

de (x+1)

- - - - - - -|+ + + + + + + + ++ + + + + + + + 
                 -1
 x 1 = 0 
 -> x = -1
 x = 0 
 x =-2
Signo del producto
+ + + + | - - - - - - - |+ + + + + + |  - - - - - - - 
                -1                0                 1
 

Note que los puntos referenciales no satisfacen la desigualdad, por lo tanto no pertenecen al conjunto solución. 

Como el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", interesa para la solución los intervalos del producto con signo (-). Esto es: S = (-1, 0) U (1, +¥ ) es el conjunto solución. 

 

8. Un vaso de ½ litro (500 cm3) tiene forma cilíndrica con un radio interior de 4 cm. ¿Qué tan exacto debemos medir la altura h del agua en el vaso para estar seguros de tener ½ litro de agua con un error menor del 1%, esto es, un error menor que 5 cm3?.
 
Solución

El volumen V del agua en el vaso está dado por la fórmula: V = P R2h = 16p h (volumen real). 
 
 
Al decir que se quiere tener un error menor de 5cm3 en la medida del volumen,  
equivale a decir que . 
Pero, 

 

 

(Prop. V.A.7.) 
(Prop. 03 y 07) 

 

Note que la diferencia (hs - hi) = 0.0994 Y 0.1 cm = 1 mm. 

Lo que indica que debemos medir la altura con una precisión de cerca de 1 mm (milímetro).  
(aproximadamente el ancho de las marcas de calibración del vaso).

 

9. Resolver la desigualdad: 
 
Solución

La desigualdad inicial puede escribirse en las formas equivalentes: 

 

(Prop. V.A.6) 

 

 

 

La última desigualdad la resolvemos por el método gráfico. 
 

      PUNTO 
DE REFERENCIA 
   PUNTOS 
 DE PRUEBA
Signo de (5x-11)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- | + + + + + + 
                                                      11/5
5x 11 = 0 
 x = 2 
 x = 3
Signo de (x + 13)
- - - - - - - |+ + + + + + + + + + + + + + + +
                   -13
x +13 = 0 
-> x = -13
x = -14 
x = -12
Signo del producto
+ + + + + + + |- - - -- - - - - - - - - - -|+ + + + + + + + 
                   -13                        11/15
 

Nótese que al sustituir los valores de x de los puntos de referencia en la última desigualdad, se transforma en una proposición verdadera. Esto es, si , entonces ; también, si , entonces . 


En consecuencia, dichos puntos pertenecen al conjunto solución. Como el signo del lado derecho de la última desigualdad es ">=0 ", interesa para la solución los intervalos del producto con signo (+). Esto es, S = (
, -13] U [11/5, ) es el conjunto solución.