1.3 EL NÚMERO COMPLEJO 

Introducción

El ejemplo típico de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales es ó, ya que no existe ningún real x tal que su cuadrado sea un número negativo. De manera mas general, la ecuación: , con coeficientes a,b,cÎ, no tiene solución real si  . Se hace, por tanto, necesario ampliar el conjunto de los números reales a un conjunto donde puedan resolverse situaciones como las anteriores, de manera que esté en correspondencia biunívoca con una parte de él. Dicho conjunto es llamado: Conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C 

A continuación se describen las definiciones y los resultados más importantes relacionados con los números complejos.

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1.3.1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS

Definiciones. 

i) El conjunto de los números complejos se define como :  

C = ,es decir, C 

ii) Al elemento (a,b) Î C se le llama número complejo y, usualmente, se denota por  z = (a,b).

iii) En el complejo llamamos parte real del complejo z (Re(z)) a   la primera componente y parte imaginaria del complejo z (Im(z)) a la segunda  componente. Es decir, si z = (a,b), entonces, Re(z) = a y Im(z) = b 

iv) Un número complejo es real si su parte imaginaria es cero. Un número complejo es   un imaginario puro si su parte real es cero. 

v) Al número complejo (0,1) se le llama unidad imaginaria y se denota por la letra i . Esto es , i = (0,1).

vi) Sean  dos números complejos, entonces : 
 

y b = d 

Es decir, dos números complejos son iguales sí y sólo si coinciden en su parte real y en su parte imaginaria.  

Observaciones. 

i) Con relación al plano cartesiano, los números complejos están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano. Esto es, la abscisa de cada punto es la parte real y la ordenada la parte imaginaria . 

Note que los complejos cuya parte imaginaria es nula ; es decir, los número de la forma z = (a,0) son puntos localizados sobre el eje de las abscisas o eje x

Puede demostrarse que los números complejos de la forma (a,0) tienen las mismas propiedades aritméticas que el número real a . Por esta razón, se puede identificar el número complejo (a,0) con el número real a.
Igualmente, los complejos cuya parte real es nula; es decir, los números de la forma z=(0,b) están localizados sobre el eje de las ordenadas o eje y. Por esta razón, algunos autores utilizan los términos eje real y eje imaginario para referirse, respectivamente, al eje x y al eje y del plano cartesiano.(Fig.1)


1.3.2 Operaciones en C.

En el conjunto C están definidas dos operaciones, denominadas respectivamente adición y multiplicación,de la siguiente forma:  

Sean  dos números complejos.  

i) ADICIÓN: 

ii) MULTIPLICACIÓN: 

Se puede demostrar que, con estas dos operaciones, el conjunto C adquiere la estructura algebraica de campo. El elemento neutro de la adición es 0 = (0,0);el inverso aditivo de (a,b) es (-a,-b).El elemento neutro de la multiplicación es 1=(1,0) y el inverso multiplicativo de  es: 
 

 
 

De este modo, las operaciones de DIFERENCIA y DIVISIÓN (por un divisor distinto de cero) pueden definirse de la siguiente forma:  

iii) DIFERENCIA 
 
 

iv) DIVISIÓN 

Esto, de acuerdo con la noción de inverso aditivo y multiplicativo.  

Observación. 

De la definición de unidad imaginaria y de la multiplicación entre complejos, se tiene:  

 

y como el complejo (- 1,0) se identifica con el número real -1,se concluye entonces que:  

 

De esta manera, se pueden establecer las potencias sucesivas de la unidad imaginaria i, así:  

En forma similar ,  

,etc…  

Note que si el exponente es de la forma 4k con k entero positivo, entonces :  

 

En general ,si el exponente es un natural n> 4, al dividir n por 4, se tiene :  

n = 4q + r ,donde r = 0,1,2,3 y, en consecuencia ,  

 

reduciendo así la potencia de  a uno de los cuatro casos considerados inicialmente.  

1.3.3 Forma binómica de los complejos. 

Sea z = (a,b) un número complejo. De acuerdo a la definición de suma de complejos, se tiene z = (a,b) = (a,0) + (0,b) , y como (a,0) coincide con el real a y (0,b) = (0,1).b= ib, se tiene, entonces,  

z = (a,b) = a + bi 

La forma a + bi se conoce como la forma binómica del complejo (a,b). 

Bajo esta forma es como habitualmente se manejan los complejos. La conveniencia de adoptarla estriba en la facilidad de efectuar operaciones algebraicas que son mucho menos laboriosas que con pares ordenados.  

Las operaciones, mencionadas anteriormente, se harán, en consecuencia , según las siguientes reglas:  

i) ADICIÓN Y DIFERENCIA: 

 

ii) MULTIPLICACIÓN: 

 

iii) DIVISIÓN: 

 

Observe que estas operaciones pueden efectuarse formalmente siguiendo las mismas reglas del álgebra con números reales, con la única precaución de sustituir, cada vez que aparezca, por el número -1. Así, para calcular el cociente de (a + bi) entre , se escribe:  

(Multiplicando Numerador y Denominador  

por la expresión conjugada * del denominador).  

 

 

1.3.4 Complejos conjugados. Módulo de un complejo. 

Definiciones. 

Sea z = a + bi la forma binómica de un número complejo, entonces:  

i)El complejo conjugado de z = a + bi, denotado por  es el complejo . 

ii)Dos complejos son conjugados uno del otro si tienen la misma parte real, y si sus partes imaginarias son números reales      opuestos. 

 Geométricamente, dos complejos conjugados uno del otro se caracterizan por ser puntos simétricos con respecto al eje real (Fig. 2.1)

iii) El módulo o valor absoluto de un complejo z = a + bi, denotado por |z|, se define: |z| Geométricamente, el módulo de un complejo z = a + bi es la distancia del origen al punto del plano que representa el complejo (Fig. 2.2). 

 


 
 

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de los complejos conjugados y del módulo de un complejo.  

Teorema. 

Sean  números complejos, entonces:  

1.  

1.1  

1.3  Generalizaciòn:  

2  

3  

3.1  

4  

4.1 Generalización:  

5 |z| = 0 Û z = 0 
6.  

7.  

8  

9  

10  

10.1  

10.2  

11  

12  (Desigualdad triangular )  

12.1 Generalización:  

13 . 
 

Demostración. 

A manera de ilustración se demuestran las propiedades 1y3; se deja la demostración de las demás propiedades como ejercicio para el lector.  

1 Sean,las formas binómicas de los complejos ,entonces: 
 

= (a + c ) - ( b + d)i 

= (a - bi ) + (c - di 

. 
 

2 (Þ Suponga que zÎ Â y pruebe que z =. 
Si zÎ Â, entonces z = a + 0i= a - 0i , esto es : z = a = 

(Ü Sea z = a + bi= a - bi . Si z =, entonces a + bi = a - bi y por la igualdad entre complejos, se sigue que b = - b ó 2b = 0 , con lo cual b = 0 .En consecuencia ,  

z = a + 0i =  a Î Â  

Los números complejos pueden escribirse en otras formas que involucran funciones trigonométricas. Ellas son: la forma polar o trigonométrica y la forma exponencial. Se deja la presentación de estas dos formas para el taller correspondiente a la trigonometría plana.