PROPIEDADES BASICAS DE LOS NUMEROS REALES



En este capítulo no se pretende definir los números reales. La definición de los números reales es complicada y está fuera del alcance de este programa, es tema de un curso avanzado de matemáticas. En este capítulo abordaremos los números reales desde un punto de vista muy intuitivo.

Algunas de las propiedades que aparecen en este capítulo pueden parecer demasiados sencillas para ser mencionadas pero se verá que un sorprendente número de hechos importantes se obtendrán como consecuencia de las propiedades que vamos a mencionar.

De las doce propiedades que vamos a estudiar, las nueve primeras se refieren a las operaciones fundamentales de suma y multiplicación.

Primero vamos a considerar la suma. Esta operación se efectúa con un par de números a y b, la suma a + b existe cualquiera que sean los números considerados. Para la suma de tres números a, b y c puede hacerse de dos maneras diferentes. Se puede sumar primero b y c, obteniendo b + c y después sumar a a este número para obtener a + (b + c), o bien se puede sumar primero a y b y después sumar c a la suma para obtener (a + b) + c Las dos sumas son por supuesto iguales y esta constituye la primera propiedad que se menciona en este capítulo.


P1. Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a + (b + c) = (a + b) + c

El enunciado de esta propiedad hace evidente la no necesidad de definir por separado la suma de tres elementos. a + b + c representa el número a + (b + c) = (a + b) + c . La suma de cuatro números requiere consideraciones parecidas pero con mas posibilidades. El símbolo a + b + c + d se define como

((a + b) + c) + d
(a + (b + c)) + d
a + ((b + c) + d)
a + (b + (c + d))
(a + b) + (c + d)

Esta definición es única, pues estos números son afortunadamente iguales.

Aplicando la propiedad P1 se puede llegar a resultados similares para n números. En adelante hacemos uso tácito de este hecho y escribiremos las suma a1 + a2 + ... + an olvidándonos de las disposiciones de paréntesis.

El número cero, 0, tiene una propiedad muy importante que merece enunciarse.


P2. Si a es un número cualquiera, entonces. a + 0 = 0 + a = a

El número cero también juega un papel importante en la siguiente propiedad.


P3. Para todo número a existe un número -a tal que. a + (-a) = (-a) + a = 0

Ejemplo 1


DEFINICIÓN 0.1 (Resta o Diferencia)

La resta o diferencia de los números a y b, en este orden, se denota a - b y se define como a - b = a + (-b)

Ejemplo 2


En la propiedad P1 vimos que no importaba el orden en que se operara, veremos en la siguiente propiedad que no importa el orden en que coloquemos los números.


P4. Si a y b son números cualesquiera, entonces a + b = b + a.

Es importante destacar que no todas las operaciones cumplen la propiedad P4, por ejemplo la resta no cumple esta propiedad: en general a - b ¹ b - a. Las propiedades fundamentales de la multiplicación son similares a las de la suma. El producto de dos números cualesquiera a y b se denota por a·b o simplemente por ab y es un único número.


P5. Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a·(b·c) = (a·b)·c.


P6. Si a es un número cualquiera, entonces a·1 = 1·a = a.

Puede parecer demasiado obvia esta propiedad, pero es necesario hacerlo, pues es imposible demostrarla de las propiedades enunciadas.

Es importante aclarar que 1¹0.


P7. Para todo número a ¹ 0 existe un número, que denotamos por a-1, a·a-1tal que a-1·a = 1


P8. Si a y b son números cualesquiera, entonces a·b = b·a.

Un detalle que es importante tener en cuenta es que aparezca la condición a ¹ 0. Esta condición es absolutamente necesaria puesto que 0·b = 0 para todo número b, no existe ningún número 0-1 que satisfaga 0·0-1 = 1. Esta condición tiene una consecuencia importante para la división. Así como la resta fue definida a partir de la suma, del mismo modo se obtiene la división a partir de la multiplicación.



DEFINICIÓN 0.2 (División)
La división de los números a y b, b¹0, se denota por y se define asi:

Puesto que 0-1 no tiene sentido, tampoco lo tiene

, de ahí que la división por cero siempre este indefinida.

Si a·b=a·c no se sigue necesariamente que b=c.

Ejemplo 3


P9.Si a, b y c son números, entonces a·(b + c)=a·b + a·c.

Utilizando la propiedad P8 se tiene que (b + c)·a=b·a + c·a también se cumple.

Ejemplo 4




Ejemplo 5




Ejemplo 6


Las nueve propiedades anteriores tienen nombres descriptivos asociados a cada una de ellas.

Sean a, b y c números cualesquiera.

P1. Propiedad Asociativa para la suma.
P2. Existencia de Neutro para la suma.
P3. Existencia de Inversos para la suma.
P4. Propiedad Conmutativa para la suma.
P5. Propiedad Asociativa para la multiplicación.
P6. Existencia de Neutro para la multiplicación.
P7. Existencia de Inversos para la multiplicación.
P8. Propiedad Conmutativa.
P9. Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.


Las tres propiedades restantes hacen referencia a las desigualdades. Las dos nociones de desigualdad, a < b (a menor que b) y a > b (a mayor que b) están íntimamente relacionadas, a < b significa lo mismo que a > b (así 1 < 3 y 3 > 1 son sencillamente dos maneras de decir lo mismo).

Los números a que satisfacen a > b se llaman positivos, mientras que los números a que satisfacen a < b se llaman negativos. La positividad de los números puede definirse en términos de >, es posible invertir el proceso a > b puede interpretarse con el significado a-bque es positivo. Sea P el conjunto de los números positivos.


P10. (Propiedad de Tricotomía). Para todo número a se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones.

  1. a = 0
  2. a pertenece al conjunto P.
  3. - a pertenece al conjunto P.



P11. (La suma es cerrada en P). Si a y b pertenecen a P, entonces a + b pertenece a P.


P12. (La multiplicación es cerrada en P). Si a y b pertenecen a P, entonces a·b pertenece a P.



DEFINICIÓN 0.3. Sean a y b números cualesquiera

  1. a > b si pertenece a P.
  2. a < b si b > a.
  3. a £ b si a > b ó a = b.
  4. a ³ b si a < b ó a = b.



OBSERVACIÓN.

  1. Todos los hechos conocidos de las desigualdades por elementales que parezcan son consecuencia de las propiedades P10, P11 y P12.


  2. De la definición 0.3 se tiene que:

    Si a y b son números cualesquiera, entonces solo se cumple una de las siguientes condiciones
    1. a = b
    2. a > b
    3. a< b
EJERCICIOS